Открыть главное меню
Две пересекающиеся плоскости

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Пло́скость — это поверхность или фигура, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

Содержание

Некоторые характеристические свойства плоскостиПравить

  • Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
  • Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
  • Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
  • Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
  • Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
 
Плоскость и два её нормальных вектора: n1 и n2

Уравнения плоскостиПравить

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г. Ламе (18161818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее уравнение (полное) плоскости
 

где   и   — постоянные, причём   и   одновременно не равны нулю; в векторной форме:

 

где   — радиус-вектор точки  , вектор   перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора  :

 
 
 

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При   плоскость проходит через начало координат, при   (или  ,  ) П. параллельна оси   (соответственно   или  ). При   ( , или  ) плоскость параллельна плоскости   (соответственно   или  ).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
 

где  ,  ,   — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях   и  .

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку   ,перпендикулярной вектору нормали  :
 

в векторной форме:

 
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  , не лежащие на одной прямой:
 

(смешанное произведение векторов), иначе

 
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
 

в векторной форме:

 

где  - единичный вектор,   — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

 

(знаки   и   противоположны).

Определение по точке и вектору нормалиПравить

В трёхмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим,   является радиусом-вектором точки  , заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка   с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от   к  , перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

  (Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

 

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости   и вектор нормали  .

Уравнение плоскости записывается так:

 

 

 

Расстояние от точки до плоскостиПравить

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

  • Отклонение точки   от плоскости заданной нормированным уравнением  
 
 ,если   и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае  . Расстояние от точки до плоскости равно  
  • Расстояние   от точки  , до плоскости, заданной уравнением  , вычисляется по формуле:
 

Расстояние между параллельными плоскостямиПравить

  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями   и  :
 
  • Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями   и  :
 
 
Типы взаимного расположения трёх или менее плоскостей. В частности, 4 тип — пересечение двух плоскостей, 11 тип — плоскость E3 проходит через линию пересечения плоскостей E1 и E2, 12 тип — пересечение трёх плоскостей в точке

Связанные понятияПравить

  • Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
 

Если в векторной форме, то

 
  или   (Векторное произведение)
  • Плоскости перпендикулярны, если
  или  . (Скалярное произведение)
  • Пучок плоскостей — все плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей, имеет вид[1]:222:
 
где   и   — любые числа, не равные одновременно нулю. Уравнение самой этой линии можно найти из уравнения пучка, подставляя α=1, β=0 и α=0, β=1.
  • Связка плоскостей — все плоскости, проходящие через точку пересечения трёх плоскостей[1]:224. Уравнение связки плоскостей, то есть любой плоскости, проходящей через точку пересечения трёх плоскостей, имеет вид:
 
где  ,   и   — любые числа, не равные одновременно нулю. Саму эту точку можно найти из уравнения связки, подставляя α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 и α=0, β=0, γ=1 и решая получившуюся систему уравнений.

m-плоскость в пространстве Править

Пусть дано n-мерное аффинное-конечномерное пространство  , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат  . m-плоскостью называется множество точек  , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению     - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости,   - вектор переменных,   - радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
  - векторное уравнение m-плоскости.
Вектора   образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости   называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и  .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть   - нормальный вектор плоскости,   - вектор переменных,   - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
  - общее уравнение плоскости.
Имея матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так:  , или:
 .
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примеры m-плоскостейПравить

  1. Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве (n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид:  . В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
  2. Гиперплоскость в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

ЛитератураПравить

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

СсылкиПравить

В Викисловаре есть статья «плоскость»