Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

править

Чтобы вычислить число состояний частицы в единичном энергетическом интервале, сначала найдём плотность состояний в обратном пространстве (пространство волновых векторов, оно же  -пространство). «Расстояние» по   между состояниями определяется граничными условиями.

Для свободных электронов и фотонов в области   или для электронов в кристаллической решётке с параметром решётки   используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана для волновой функции:  . В таком случае   и для возможных значений  -компоненты волнового вектора   получается соотношение  , где   — любое целое число. Расстояние между соседними (то есть  -м и    -м) состояниями будет

 .

Аналогичные выражения можно записать и для других декартовых координат ( ,  ). Набор доступных состояний представляет собой бесконечный массив точек по нескольким (скольким именно — зависит от размерности) «направлениям»  -пространства.

Количество состояний  , доступных для частицы с модулем волнового вектора меньше заданного значения  , равно объёму « -мерного шара радиусом  », делённому на объём, приходящийся на одно состояние:

 ,

где   — вырождение уровня (обычно спиновое вырождение, равное 2). Под   понимается произведение  , в котором число сомножителей определяется размерностью. Для трехмерной (3D) ситуации интеграл равен  , а  .

Чтобы найти плотность состояний в  -пространстве, выражение для   нужно продифференцировать:

 .

Для перехода к плотности состояний по энергии необходимо знать закон дисперсии для частицы, то есть уметь выразить   и   в терминах   и  . Тогда

 .

Скажем, для свободного электрона  ,  , где   — масса,   — редуцированная постоянная Планка,  3) — объём. С небольшими изменениями выражения применимы и при неодинаковости массы или размеров   по разным направлениям. Результаты для   приведены в таблице следующего раздела.

Для плотности состояний также существует формальное соотношение иного вида — через дельта-функцию:

 ,

где индекс   отвечает некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра. При замене суммирования интегрированием по фазовому пространству используется правило

 ,

где   — пространственные координаты.

Примеры

править

В таблице представлены выражения для плотности состояний электронов с параболическим законом дисперсии[1]:

Объём   Объём для одного
состояния  
Плотность состояний  
       
       
       
  1 1  

где   — индекс подзоны размерного квантования,   — функция Хевисайда. Формулы описывают случай, когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Все формулы для  , приведённые в самой правой колонке, имеют размерность Дж−1м−3 и структуру «некое выражение  , делённое на произведение линейных размеров области квантования» — этих размеров столько, по скольким координатам ограничено движение. Если такое деление не производить (убрать все  ), то останется   с размерностью [ ] = Дж−1м−2, Дж−1м−1 и Дж−1, соответственно, для двумерного (2D), одномерного (1D) и нульмерного (0D) случаев. Под «плотностью состояний», в зависимости от контекста, может подразумеваться не только  , но и  .

Использование

править

Плотность состояний фигурирует в выражениях для расчёта концентрации частиц при их известном энергетическом распределении. Для фермионов, каковыми являются электроны, в условиях равновесия это распределение соответствует статистике Ферми — Дирака, а для бозонов, в том числе фотонов, — статистике Бозе — Эйнштейна.

Скажем, концентрации электронов (дырок) в зоне проводимости (валентной зоне) полупроводника в равновесии рассчитываются как

 ,

где   — функция Ферми,   ( ) — энергия дна зоны проводимости (потолка валентной зоны). В качестве   здесь должна быть подставлена формула для объекта соответствующей размерности:   для толщи материала (и тогда концентрации будут в м−3),   для квантовой ямы (и тогда концентрацию получим в м−2),   для квантовой проволоки (концентрацию получим в м−1) или   (случай квантовой точки, получим не концентрацию, а число штук частиц).

Примечания

править
  1. *Harmans, C. Mesoscopic physics: an introduction. OpenCourseWare TU Delft (2003). Дата обращения: 14 июня 2018.

Ссылки

править