Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

ОпределениеПравить

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

 

где n — любое целое число, а   — расстояние между состояниями с различными k.

Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объём k-пространства доступного для неё, разделённого на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём - просто интеграл от   к  . Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде

 

  — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве:  . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE. Например для свободного электрона:  ,  

С более общим определением связано соотношение (обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель 1/V)

 

где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а  дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию в по фазовому пространству размерности 2n следует использовать правило

 

где  постоянная Планка, p — импульс, q — пространственные координаты (в случае если объём единичный этот интеграл опускают).

ПримерыПравить

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

Доступный объём Объём для одного состояния Плотность состояний
3D      
2D      
1D      
0D  

где l — индекс подзоны размерного квантования,   - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылкиПравить