Плотность состояний

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в единичном интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем, где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

ОпределениеПравить

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или  -пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера  , и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки   используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

 

где   — любое целое число, а   — расстояние между состояниями с различными  .

Полное количество  -состояний, доступных для частицы — это объём  -пространства, доступного для неё, делённый на объём  -пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объём — это просто интеграл от   до  .

Объём  -пространства для одного состояния в  -мерном случае запишется в виде

 

где   — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в  -пространстве:  . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить   и   в выражении   в терминах   и  . Например для свободного электрона:  ,  

С более общим определением связано соотношение (обычно подразумевают единичный объём, но при общей форме записи добавляется множитель  )

 

где индекс   соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а  дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию по фазовому пространству размерности   следует использовать правило

 

где  постоянная Планка,   — импульс,   — пространственные координаты (в случае, если объём единичный, этот интеграл опускают).

ПримерыПравить

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

Доступный объём Объём для одного состояния Плотность состояний
       
       
       
   

где   — индекс подзоны размерного квантования,   - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылкиПравить