Плотность тока

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, характеризующая плотность потока электрического заряда в рассматриваемой точке. В СИ измеряется в Кл/м2/c или, что то же самое, А/м2.

Плотность тока
Размерность L−2I
Единицы измерения
СИ А/м2
Примечания
векторная величина

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд , плотность тока вычисляется по формуле

,

где -3) — концентрация носителей, а — средняя скорость их движения. В более сложных случаях производится суммирование по носителям разных сортов.

Плотность тока имеет технический смысл силы электрического тока, протекающего через элемент поверхности единичной площади[1]. При равномерном распределении плотности тока и сонаправленности её с нормалью к поверхности, через которую протекает ток, для величины вектора плотности тока выполняется:

,

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S. Иногда говорится о скалярной[2] плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается величина в формуле выше.

Варианты вычисления плотности токаПравить

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости   и имеют одинаковые заряды   (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их  ,

 

где   — плотность заряда этих носителей. Направление вектора   соответствует направлению вектора скорости  , с которой движутся заряды, создающие ток, если q положительно. В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под   следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

 ,

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем разновидностям (сортам) подвижных носителей; где  концентрация частиц,   — заряд частицы,   — вектор средней скорости частиц  -го сорта.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам из некоторого малого объёма  , содержащего рассматриваемую точку:

 .

Сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны.

Плотность тока и сила токаПравить

 
Связь между током и плотностью тока

В общем случае сила тока (полный ток) может быть рассчитана исходя из плотности тока по формуле

 ,

где   — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу поверхности площадью  ; вектор   — специально вводимый вектор элемента поверхности, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную её площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение. Обратное нахождение плотности тока по известной силе тока невозможно; в предположении равноплотного токопротекания перпендикулярно площадке будет  .

Сила тока представляет собой поток вектора плотности тока через заданную фиксированную поверхность. Часто в качестве такой поверхности рассматривается поперечное сечение проводника.

Величиной плотности тока обычно оперируют при решении физических задач, в которых анализируется движение заряженных носителей (электронов, ионов, дырок и других). Напротив, использование силы тока удобнее в задачах электротехники, особенно когда рассматриваются электрические цепи с сосредоточенными элементами.

Плотность тока и законы электродинамикиПравить

Величина плотности тока фигурирует в ряде важнейших формул классической электродинамики, некоторые из них представлены ниже.

Уравнения МаксвеллаПравить

Плотность тока в явном виде входит в одно из четырёх уравнений Максвелла, а именно в уравнение для ротора напряжённости магнитного поля

 ,

физическое содержание которого в том, что вихревое магнитное поле порождается электрическим током, а также изменением электрической индукции  ; значок   обозначает частную производную (по времени  ). Это уравнение приведено здесь в системе СИ.

Уравнение непрерывностиПравить

Уравнение непрерывности выводится из уравнений Максвелла и утверждает, что дивергенция плотности тока равна изменению плотности заряда со знаком минус, то есть

 .

Закон Ома в дифференциальной формеПравить

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома (в дифференциальной форме):

 ,

где   — удельная проводимость среды,   — напряжённость электрического поля. Или:

 ,

где   — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность   в этом случае, вообще говоря, должна рассматриваться как тензор, а умножение на неё — как умножение вектора на матрицу.

Плотность тока и мощностьПравить

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется[3] плотностью мощности [энергия/(время•объем)]:

 ,

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть её может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) и т. д.

С использованием закона Ома формула для изотропной среды переписывается как

 ,

где   и   — скаляры. Для анизотропного случая будет

 ,

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор   и тензор   порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности токаПравить

В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда   и 3-вектора плотности тока  

 

где  скорость света.

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырёхмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в частности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде.

ПримечанияПравить

  1. Тур А. В., Яновский В. В. Плотность электрического тока // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 639. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
  2. Чаще в таких случаях она даже не называется явно скаляром, но просто не упоминается её векторный характер.
  3. Это прямо следует из формул, приведенных выше вкупе с определением работы или с формулой мощности  .