Открыть главное меню

Площадь фигуры

(перенаправлено с «Площадь (геометрия)»)

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определенииПравить

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

  1. Положительность — площадь неотрицательна;
  2. Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
  3. Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
  4. Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

  • Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура   называется квадрируемой, если для любого   существует пара многоугольников   и  , такие что   и  , где   обозначает площадь  .

Примеры квадрируемых фигур

Связанные определенияПравить

  • Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

КомментарииПравить

  • Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

ФормулыПравить

Фигура Формула Комментарий
Правильный треугольник     — длина стороны треугольника.
Треугольник   Формула Герона.   — полупериметр,  ,   и   — длины сторон треугольника.
Треугольник     и   — две стороны треугольника, а   — угол между ними.
Треугольник     и   — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат     — длина стороны квадрата.
Прямоугольник     и   — длины сторон прямоугольника.
Ромб     — сторона ромба,   — внутренний угол,   — диагонали.
Параллелограмм     — длина одной из сторон параллелограмма, а   — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция     и   — длины параллельных сторон, а   — расстояние между ними (высота).
Четырёхугольник     и   — длины диагоналей, и   — угол между ними.
Правильный шестиугольник     — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник     — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник     — длина стороны многоугольника, а   — количество сторон многоугольника.
    — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а   — периметр многоугольника.
Произвольный многоугольник   Формула площади Гаусса.   — координаты вершин  -угольника,  
Круг   или     — радиус окружности, а   — её диаметр.
Сектор круга     и   — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс     и   — большая и малая полуоси эллипса.

См. такжеПравить

СсылкиПравить