Поверхности постоянной средней кривизны

Поверхности постоянной средней кривизны — класс поверхностей моделирующий поверхности мыльных плёнок разделяющие области с фиксированной разницей давлений. В частном случае, если давление с обеих сторон равно, модель определяет минимальные поверхности.

Нодоид, поверхность с постоянной средней кривизной

Ундулоид, поверхность с постоянной средней кривизной

Определяются как гладкие поверхности с постоянной средней кривизной.

История исследования

• В 1841 году Шарль-Эжен Делоне доказал, что единственными поверхностями вращения с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные вращением кривых получаемых качением коник. Таковыми являются плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.

• В 1853 году Дж. Джелле показал, что если $S$ компактная звёздчатая поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной средней кривизной, то это стандартная сфера. Впоследствии Александр Данилович Александров доказал, что компактная вложенная поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ с постоянной средней кривизной $H\neq 0$ должна быть сфера.
  • На основании этого Хайнц Хопф в 1956 году предположил, что любая погружённая компактная ориентируемая гиперповерхность постоянной средней кривизны в $\mathbb {R} ^{n}$ должна быть круглой сферой.
  • Это предположение было опровергнуто в 1982 году Ву-И Сяном с использованием контрпримера в $\mathbb {R} ^{4}$.
  • В 1984 году Генри К. Венте построил так называемый тор Венте — погружение в $\mathbb {R} ^{3}$ тора постоянной средней кривизны.

• Существуют методы построения множества примеров. В частности, методы склеивания позволяют произвольно комбинировать поверхности постоянной средней кривизны.

• Микс показал, что не существует вложенных поверхностей постоянной средней кривизны с одним концом в $\mathbb {R} ^{3}$ . Кореваар, Куснер и Соломон доказали, что концы полной вложенной поверхности асимптотические ундулоиды.

Приложения

Помимо мыльных плёнок, поверхности постоянной средней кривизны появляются как границы раздела газ-жидкость на супергидрофобной поверхности.

В архитектуре поверхности постоянной средней кривизны используются в конструкциях с воздушной опорой, таких, как надувные купола и ограждения, а также в качестве источника плавных органических форм.