Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно операции, определяющей .

Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

  1. содержит единичный элемент из
  2. содержит произведение любых двух элементов из ,
  3. содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент .

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

ПримерыПравить

  • Подмножество группы  , состоящее из одного элемента  , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы  .
  • Сама   также является своей подгруппой.

Связанные определенияПравить

  • Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
  • Сама группа   и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы  , все остальные ― собственными.
  • Пересечение всех подгрупп группы  , содержащих все элементы некоторого непустого множества  , называется подгруппой, порождённой множеством  , и обозначается  .
    • Если   состоит из одного элемента  , то   называется циклической подгруппой элемента  .
    • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
  • Если группа   изоморфна некоторой подгруппе   группы  , то говорят, что группа   может быть вложена в группу  .
  • Если   — подгруппа группы  , то для любого   подмножество
     
является подгруппой. При этом подгруппы   и   называются сопряжёнными.

Основные свойстваПравить

  • Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
  • Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
  • Непустое множество   является подгруппой группы   тогда и только тогда, когда для любых   выполняется  
  • Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы   является подгруппой группы  .
  • Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп   и   называется подгруппа, порожденная объединением множеств  .
  • Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
  • Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классыПравить

Для подгруппы   и некоторого элемента  , определяется левый смежный класс  . Количество левых смежных классов подгруппы   называется индексом подгруппы   в   и обозначается  . Аналогично можно определить правые классы смежности  .

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу   группы   по нормальной подгруппе  .

ЛитератураПравить