Поде́рный треугольник (также треугольник проекций[1]) точки относительно  — это треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника (или их продолжения).

Синий треугольник — подерный треугольник точки относительно красного треугольника

Связанные определения править

  • Описанную окружность подерного треугольника называют подерной окружностью.
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трех прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку  , с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.

Свойства править

  • Окружностно-чевианный треугольник точки подобен её подерному треугольнику.[2].
  • Вершины подерного треугольника разделяют три стороны исходного треугольника на шесть отрезков так, что сумма квадратов трех из них, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других, также не имеющих общих концов[3].
    • Верно и обратное: Если на трех сторонах исходного треугольника выбраны три точки так, что они разделяют стороны на шесть отрезков, при этом сумма квадратов трех из них, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других, также не имеющих общих концов, тогда эти три точки являются вершинами некоторого подерного треугольника[4]. В частности:

Частные случаи подерных треугольников править

Вырожденный подерный треугольник править

 
Прямая Симсона треугольника ABC
  • Подерный треугольник точки   вырождается в прямую (на рисунке она синего цвета) тогда и только тогда, когда   находится на описанной окружности треугольника  . В этом случае прямая, содержащая подерный треугольник, называется прямой Симсона.

Равносторонний подерный треугольник править

Ортоцентрический треугольник как подерный треугольник править

Серединный треугольник как подерный треугольник править

Серединный треугольник (дополнительный треугольник) является подерным треугольником центра описанной окружности исходного треугольника.

Подерные окружности двух изогонально сопряженных точек треугольника править

См. также править

Примечания править

  1. Зетель, 1962, с. 136.
  2. Задача 108130. Дата обращения: 1 сентября 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
  3. Зетель, 1962, п. 126, теорема, с. 137.
  4. Зетель, 1962, п. 126, обратная теорема, с. 136.
  5. 1 2 Зетель, 1962, п. 80, с. 97.

Литература править

  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е издание. — М.: Учпедгиз, 1962.

Ссылки править