Открыть главное меню
На диаграмме кругов Эйлера видно, что является подмножеством , а является надмножеством

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

ОпределениеПравить

Множество   называется подмножеством множества  , если все элементы, принадлежащие  , также принадлежат  [1]. Формальное определение:

 .

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:

«  является подмножеством  » обозначается «  является собственным подмножеством  » обозначается Примечание
    Символ   является аналогом  , то есть в случае   допускается равенство   множеств;

символ   является аналогом  , то есть в случае   в   есть элементы, которых нет в  .

    Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным».

Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ   в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество   называется надмно́жеством множества  , если   является подмножеством множества  .

То, что   является надмножеством множества  , записывают  , т.е.  

Множество всех подмножеств множества   обозначается   и называется булеаном.

Собственное и несобственное подмножествоПравить

Любое множество   среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество   и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными подмножествами[2]. То есть, если мы хотим исключить само   и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

Множество   является собственным подмножеством множества  , если   и  ,  .

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество   является нетривиальным подмножеством множества  , если   является собственным подмножеством   и  .

ПримерыПравить

  • Множества   являются подмножествами множества  
  • Множества   являются подмножествами множества  
  • Пусть   Тогда  
  • Пусть  . Тогда  

СвойстваПравить

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[3].

  • Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
    • Отношение подмножества рефлексивно:
       
    • Отношение подмножества антисимметрично:
       
    • Отношение подмножества транзитивно:
       
  • Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
     
  • Для любых двух множеств   и   следующие утверждения эквивалентны:[4]
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  

Подмножества конечных множествПравить

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у  -элементного множества существует   подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет  -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества  -элементного множества из   элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом  . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать   способами, второй   способом, и так далее, и, наконец,  -й элемент можно выбрать   способом. Таким образом мы получим последовательность из   элементов, и ровно   таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется   таких подмножеств.

ПримечанияПравить

  1. Биркгоф, 1976, с. 10.
  2. Подмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. Ю. В. Прохоров. - М., Советская энциклопедия, 1988. - с. 465
  3. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  4. Келли Дж. Общая топология. - М., Наука, 1981. - с. 16

ЛитератураПравить

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0.
  • Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.

СсылкиПравить