Подмножество

На диаграмме кругов Эйлера видно, что является подмножеством , а является надмножеством

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

ОпределениеПравить

Множество   называется подмножеством множества  , если все элементы, принадлежащие  , также принадлежат  [1]. Формальное определение:

 

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:

«  является подмножеством   (нестрогим)» обозначается «  является строгим подмножеством  » обозначается Примечание
    Символ   является аналогом  , то есть в случае   допускается равенство   множеств;

символ   является аналогом  , то есть в случае   в   есть элементы, которых нет в  .

    Для понятия «подмножество» используется более простой символ, так как это понятие является более «фундаментальным».

Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ   в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество   называется надмно́жеством множества  , если   является подмножеством множества  .

То, что   является надмножеством множества  , записывают  , то есть  

Множество всех подмножеств множества   обозначается   и называется булеаном.

Множества   и   называются равными  , если они состоят из одних и тех же элементов, т. е.   и  .[2]

Собственное и несобственное подмножествоПравить

Любое множество   среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество   и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными подмножествами[3].

То есть, если мы хотим исключить само   и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

Множество   является собственным подмножеством множества  , если   и  ,  .

В зарубежной литературе несобственным подмножествам в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) соответствуют тривиальные, а собственным — нетривиальные, а термин «собственное подмножество» (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B» или «подмножество A, строго входящее в множество B, и в котором нет как минимум одного элемента множества B». То есть в отличие от собственного подмножества в русскоязычных источниках, proper subset B не включает само множество B, но включает пустое множество. Как следствие: так как пустое множество является подмножеством любого множества, то оно является собственным подмножеством (proper subset) всех множеств.

В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество   является нетривиальным подмножеством множества  , если   является собственным подмножеством (proper subset)   и  .

ПримерыПравить

  • Множества   являются подмножествами множества  
  • Множества   являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества   все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
  • Множества   являются подмножествами множества  
  • Пусть   Тогда  
  • Пусть  . Тогда  

СвойстваПравить

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[4].

  • Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
    • Отношение подмножества рефлексивно:
       
    • Отношение подмножества антисимметрично:
       
    • Отношение подмножества транзитивно:
       
  • Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
     
  • Для любых двух множеств   и   следующие утверждения эквивалентны:[5]
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  

Подмножества конечных множествПравить

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у  -элементного множества существует   подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет  -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества  -элементного множества из   элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом  . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать   способами, второй   способом, и так далее, и, наконец,  -й элемент можно выбрать   способом. Таким образом мы получим последовательность из   элементов, и ровно   таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется   таких подмножеств.

ПримечанияПравить

  1. Биркгоф, 1976, с. 10.
  2. Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 11
  3. Подмножество. // Математический энциклопедический словарь. / ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 465
  4. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 65. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  5. Келли Дж. Общая топология. — М., Наука, 1981. — с. 16

ЛитератураПравить

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0.
  • Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976. — 400 с.

СсылкиПравить