Последовательность

(перенаправлено с «Подпоследовательность»)

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Более общие случаи см. в разделе Вариации и обобщения.

В данной статье последовательность подразумевается бесконечной; случаи конечной последовательности оговариваются особо.

ПримерыПравить

Строгое определениеПравить

Пусть задано некоторое множество   элементов произвольной природы.

Всякое отображение   множества натуральных чисел   в заданное множество   называется последовательностью[1] (элементов множества  ).

ОбозначенияПравить

Последовательности вида

 

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

  или  .

Иногда используются фигурные скобки:

 .

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

 .

Также последовательность может быть записана как

 ,

если функция   была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при   последовательность можно записать в виде  .

Связанные определенияПравить

  • Образ натурального числа  , а именно элемент  , называется  -ым членом последовательности, а порядковый номер   члена последовательности   — его индексом.
  • Подмножество   множества  , которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности: пока индекс пробегает множество натуральных чисел, точка, «изображающая» члены последовательности, «перемещается» по носителю.
  • Подпоследовательностью последовательности   называется зависящая от   последовательность  , где   — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

ЗамечанияПравить

  • Любое отображение множества   в себя также является последовательностью.

Последовательности в математикеПравить

В математике рассматривают различные типы последовательностей:

Практически важные задачи, возникающие при изучении последовательностей:

  • Выяснение вопроса, конечна данная последовательность или бесконечна. Например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет.
  • Поиск закономерностей среди членов последовательности.
  • Поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для  -го члена последовательности. Например, для  -го простого числа неплохое приближение даёт формула:   (существуют и более точные).
  • Прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу  числовому или не числовому, в зависимости от типа множества  

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Последовательность // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 506—507.

ЛитератураПравить