Поле частных

Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности $R$ как наименьшее поле, содержащее $R$. Поле частных для $R$ может обозначаться $\operatorname {Frac} (R)$ или $\operatorname {Quot} (R)$.

Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов $R$ как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).

Примеры

• Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел $\mathbb {Q}$.
• Возьмём в качестве $R$ кольцо гауссовых целых чисел вида $a+bi,$ где $a$, $b$ — обычные целые числа. Тогда $\operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}$ — поле рациональных гауссовых чисел.
• Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
• Пусть $K$ — поле. Тогда кольцо многочленов $K[X]$ с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для $K[X]$ обозначается $K(X)$ и называется полем рациональных функций.

Построение

Поле частных для области целостности $R$ строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов $a,b\in R\ (b\neq 0)$ и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары $(a,b)$ и $(c,d)$ эквивалентны, если $ad=bc$. Поле частных $\operatorname {Frac} (R)$ определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару $(a,b)$, по аналогии с обычными дробями обозначают как $a/b$ или ${a \over b}$.

Сумма ${\frac {a}{b}}$ и ${\frac {c}{d}}$ определяется, как для дробей: ${\frac {ad+bc}{bd}}$. Аналогично определяется умножение: ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$. Несложно проверить:

• Результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
• Сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
• Классы $0/1$ и $1/1$ играют роль нуля и единицы соответственно;
• Все аксиомы кольца выполнены.

Поэтому $\operatorname {Frac} (R)$ — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу $R$ — для доказательства сопоставим $a\in R$ класс, содержащий пару $a/1$.

Далее установим, что у каждого ненулевого класса ${a \over b}$ имеется обратный элемент ${b \over a},$ определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура $\operatorname {Frac} (R)$ является полем.

Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма.

Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.

Свойства

Поле частных кольца $R$ удовлетворяет следующему универсальному свойству: если $h:R\rightarrow F$ — инъективный гомоморфизм колец из $R$ в поле $F$, то существует единственный гомоморфизм колец $g:\operatorname {Frac} (R)\rightarrow F$, который совпадает с $h$ на элементах $R$. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

Литература

• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1. — 374 с.
• Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.

Ссылки

• Кострикин А. И. Поле отношений целостного кольца. Архивная копия от 7 декабря 2018 на Wayback Machine // Введение в алгебру, § 9.5.4.3.1. М.: Наука, 1977, стр. 233—236.