Ля́мбда-ма́трица (λ-матрица , матрица многочленов ) — квадратная матрица , элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем [1] :
A
(
λ
)
=
[
a
11
(
λ
)
a
12
(
λ
)
⋯
a
1
n
(
λ
)
a
21
(
λ
)
a
22
(
λ
)
⋯
a
2
n
(
λ
)
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
(
λ
)
a
n
2
(
λ
)
⋯
a
n
n
(
λ
)
]
,
a
i
j
(
λ
)
=
a
i
j
(
l
)
λ
l
+
a
i
j
(
l
−
1
)
λ
l
−
1
+
⋯
+
a
i
j
(
1
)
λ
+
a
i
j
(
0
)
.
{\displaystyle A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l}+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.}
Связанные определения
править
Алгебра λ-матриц
править
Сложение и умножение
править
λ-матрицы одного и того же порядка можно складывать и перемножать между собой обычным образом и в результате получится другая λ-матрица. Пусть
A
(
λ
)
{\displaystyle A\left(\lambda \right)}
и
B
(
λ
)
{\displaystyle B\left(\lambda \right)}
— λ-матрицы одного и того же порядка, имеющие степени
l
{\displaystyle l}
и
m
{\displaystyle m}
соответственно, и
k
=
max
{
l
,
m
}
{\displaystyle k=\max \left\lbrace l,m\right\rbrace }
. Тогда можно записать, что
A
(
λ
)
=
A
k
λ
k
+
A
k
−
1
λ
k
−
1
+
⋯
+
A
1
λ
+
A
0
,
{\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0},}
B
(
λ
)
=
B
k
λ
k
+
B
k
−
1
λ
k
−
1
+
⋯
+
B
1
λ
+
B
0
,
{\displaystyle B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_{0},}
где хотя бы одна из матриц
A
k
{\displaystyle A_{k}}
и
B
k
{\displaystyle B_{k}}
— ненулевая. Отсюда[3]
A
(
λ
)
+
B
(
λ
)
=
(
A
k
+
B
k
)
λ
k
+
(
A
k
−
1
+
B
k
−
1
)
λ
k
−
1
+
⋯
+
(
A
1
+
B
1
)
λ
+
(
A
0
+
B
0
)
,
{\displaystyle A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_{k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0}),}
A
(
λ
)
B
(
λ
)
=
A
k
B
k
λ
2
k
+
(
A
k
B
k
−
1
+
A
k
−
1
B
k
)
λ
2
k
−
1
+
⋯
+
(
A
1
B
0
+
A
0
B
1
)
λ
+
(
A
0
B
0
)
.
{\displaystyle A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_{k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_{0}).}
Предположим, что
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
— регулярная λ-матрица и что существуют такие λ-матрицы
Q
(
λ
)
{\displaystyle Q(\lambda )}
и
R
(
λ
)
{\displaystyle R(\lambda )}
с
R
(
λ
)
≡
0
{\displaystyle R(\lambda )\equiv 0}
или со степенью
R
(
λ
)
{\displaystyle R(\lambda )}
, меньшей степени
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
, что
A
(
λ
)
=
Q
(
λ
)
B
(
λ
)
+
R
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )=Q(\lambda )B(\lambda )+R(\lambda )}
.
В этом случае
Q
(
λ
)
{\displaystyle Q(\lambda )}
называется правым частным
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
при делении на
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
, а
R
(
λ
)
{\displaystyle R(\lambda )}
— правым остатком . Подобно этому
Q
^
(
λ
)
{\displaystyle {\hat {Q}}(\lambda )}
и
R
^
(
λ
)
{\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}
— левое частное и левый остаток при делении
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
на
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
, если
A
(
λ
)
=
B
(
λ
)
Q
^
(
λ
)
+
R
^
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda ){\hat {Q}}(\lambda )+{\hat {R}}(\lambda )}
и
R
^
(
λ
)
≡
0
{\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )\equiv 0}
или степень
R
^
(
λ
)
{\displaystyle {\hat {R}}(\lambda )}
меньше степени
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
.
Если правый (левый) остаток равен 0, то
Q
(
λ
)
{\displaystyle Q(\lambda )}
(
Q
^
(
λ
)
)
{\displaystyle ({\hat {Q}}(\lambda ))}
называется правым (левым) делителем
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
при делении на
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
[4] .
Если
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
— регулярная, то правое (левое) частное и правый (левый) остаток при делении
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
на
B
(
λ
)
{\displaystyle B(\lambda )}
существуют и единственны[5] .
λ-матрицы с матричными аргументами
править
Вследствие некоммутативности умножения матриц, в отличие от свойств обычного многочлена для λ-матрицы нельзя записать равенство, аналогичное
a
l
λ
l
+
a
l
−
1
λ
l
−
1
+
⋯
+
a
1
λ
+
a
0
=
λ
l
a
l
+
λ
l
−
1
a
l
−
1
+
⋯
+
λ
a
1
+
a
0
,
{\displaystyle a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l}a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0},}
поэтому мы определяем правое значение
A
(
B
)
{\displaystyle A(B)}
λ-матрицы
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
в матрице
B
{\displaystyle B}
как
A
(
B
)
=
A
l
B
l
+
A
l
−
1
B
l
−
1
+
⋯
+
A
1
B
+
A
0
{\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0}}
, если
A
(
λ
)
=
A
l
λ
l
+
A
l
−
1
λ
l
−
1
+
⋯
+
A
1
λ
+
A
0
{\displaystyle A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_{0}}
и левое значение
A
^
(
B
)
{\displaystyle {\hat {A}}(B)}
как:
A
^
(
B
)
=
B
l
A
l
+
B
l
−
1
A
l
−
1
+
⋯
+
B
A
1
+
A
0
{\displaystyle {\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+A_{0}}
,
и в общем случае
A
(
B
)
≠
A
^
(
B
)
{\displaystyle A(B)\neq {\hat {A}}(B)}
[6] .
Теорема Безу для λ-матриц
править
Для λ-матриц существует свойство, аналогичное теореме Безу для многочленов: правым и левым остатком от деления λ-матрицы
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
на
λ
E
−
B
{\displaystyle \lambda E-B}
, где
E
{\displaystyle E}
— единичная матрица , является
A
(
B
)
{\displaystyle A(B)}
и
A
^
(
B
)
{\displaystyle {\hat {A}}(B)}
соответственно[7] .
Свойство доказывается через следующее разложение на множители:
λ
j
E
−
B
j
=
(
λ
j
−
1
E
+
λ
j
−
2
B
+
⋯
+
λ
B
j
−
2
+
B
j
−
1
)
(
λ
E
−
B
)
.
{\displaystyle \lambda ^{j}E-B^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^{j-1})(\lambda E-B).}
При умножении обеих частей этого равенства на
A
j
{\displaystyle A_{j}}
слева и сложении всех полученных равенств при
j
=
1
,
⋯
,
l
{\displaystyle j=1,\cdots ,l}
правая часть будет иметь вид
C
(
λ
)
(
λ
E
−
B
)
{\displaystyle C(\lambda )(\lambda E-B)}
, где
C
(
λ
)
{\displaystyle \ C(\lambda )}
— некоторая λ-матрица. Левая часть равенства, в свою очередь, будет равна
∑
j
=
1
l
λ
j
A
j
−
∑
j
=
1
l
A
j
B
j
=
∑
j
=
0
l
λ
j
A
j
−
∑
j
=
0
l
A
j
B
j
=
A
(
λ
)
−
A
(
B
)
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum _{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A(B).}
Таким образом,
A
(
λ
)
=
C
(
λ
)
(
λ
E
−
B
)
+
A
(
B
)
{\displaystyle A(\lambda )=C(\lambda )(\lambda E-B)+A(B)}
.
Результат теперь следует из единственности правого остатка. Утверждение для левого остатка получается обращением множителей в исходном разложении, умножением полученного выражения на
A
j
{\displaystyle A_{j}}
справа и суммированием.
Следствие: чтобы λ-матрица
A
(
λ
)
{\displaystyle A(\lambda )}
делилась без остатка на
λ
E
−
B
{\displaystyle \lambda E-B}
справа (слева) необходимо и достаточно, чтобы
A
(
B
)
=
0
{\displaystyle A(B)=0}
(
A
^
(
B
)
=
0
)
{\displaystyle \left({\hat {A}}(B)=0\right)}
[7] .
↑ Гантмахер, 1966 , с. 135.
↑ Ланкастер, 1982 , с. 116.
↑ Ланкастер, 1982 , с. 116—117.
↑ Ланкастер, 1982 , с. 117.
↑ Ланкастер, 1982 , с. 117—118.
↑ Ланкастер, 1982 , с. 119.
↑ 1 2 Гантмахер, 1966 , с. 92.