Алгебраическое уравнение

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение, многочленное уравнение) — уравнение вида

P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,

где $P$ — многочлен от переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена $P$ обычно берутся из некоторого поля ${F}$ , и тогда уравнение $P(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0$ называется алгебраическим уравнением над полем ${F}$ .

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена $P$ .

Например, уравнение

y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+3x^{2}-1=0

является алгебраическим уравнением 7-й степени от 3 переменных (с 3 неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения править

Значения переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ , которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры алгебраических уравнений править

Алгебраическое уравнение с одним неизвестным — уравнение вида $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0,$ где $n$ — натуральное число.
Линейное уравнение
- от одной переменной: $ax+b=0,\quad a\neq 0.$
- от нескольких переменных: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0.$
Квадратное уравнение
- от одной переменной: $ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0.$
Кубическое уравнение
- от одной переменной: $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0.$
Уравнение четвёртой степени
- от одной переменной: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.$
Уравнение пятой степени
- от одной переменной: $ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\quad a\neq 0.$
Уравнение шестой степени
- от одной переменной: $ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\quad a\neq 0.$
Возвратное уравнение — алгебраические уравнения вида: $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0,$ коэффициенты которых, стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны, то есть если $a_{n-k}=a_{k},$ , при $k=0,1,\ldots ,n$ .