Открыть главное меню

Интерполяционный многочлен Лагранжа

(перенаправлено с «Полином Лагранжа»)

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xj) = yj.

В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Содержание

ОпределениеПравить

 
Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы yi li(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных xj

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

 

где базисные полиномы определяются по формуле:

 

li(x) обладают следующими свойствами:

  • являются многочленами степени n
  • li(xi) = 1
  • li(xj) = 0 при j ≠ i

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация li(x), может иметь степень не больше n, и L(xi) = yi.

ЕдинственностьПравить

Существует единственный многочлен степени не превосходящей  , принимающий заданные значения в   точке (что является обобщением факта, что через любые две точки проходит единственная прямая). Действительно, предположим, что существуют два различных многочлена степени не более  :   и  , для которых верно, что для   пар чисел  где все   различны,  

Рассмотрим многочлен  . Подставляя   вместо   ( ), получаем, что  . Таким образом, многочлен   имеет   корней, и все они различны. Следовательно  , так как ненулевой многочлен степени, не превосходящей   имеет не более   корней. Следовательно  .

ПримерПравить

 
Функция тангенса и интерполяция

Найдем формулу интерполяции для   имеющей следующие значения:

 
 
 
 
 
 

Получим

 

ПримененияПравить

Используя полином Лагранжа можно показать, что  

если  , то первые два по старшинству коэффициента многочлена  

Указанная выше сумма задаёт биективное отображение между   и  

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

 
Многочлены Лагранжа степеней от нулевой до пятой для функции  

Пусть для функции f(x) известны значения yi=f(xi) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

 

В частности,

 

Значения интегралов от li не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность xj.

Случай равномерного распределения узлов интерполяцииПравить

В случае равномерного распределения узлов интерполяции xj выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x0:

 ,

и, следовательно,

 

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

 

Теперь можно ввести замену переменной

 

и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

См. такжеПравить

СсылкиПравить