Подкатегория

(перенаправлено с «Полная подкатегория»)

Подкатегория в теории категорий — категория , объекты которой являются также объектами заданной категории и морфизмы которой являются также морфизмами в , с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория для категории задаётся при помощи:

  • подкласса объектов ,
  • подкласса морфизмов

таких, что выполняются следующие условия:

  • для каждого тождественный морфизм принадлежит ,
  • для каждого морфизма в его прообраз и образ лежат в ,
  • для каждой пары морфизмов , в их композиция лежит в , если она определена в .

Из этих условий следует, что является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор , называемый функтором вложения.

Подкатегория называется полной подкатегорией , если для каждой пары объектов выполнено .

Подкатегория категории называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм в , такой что принадлежит , также принадлежит . Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Подкатегория  — широкая, если она содержит все объекты . В частности, единственная широкая полная подкатегория категории  — сама .

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.