Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространствометрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства)[1].

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

ПополнениеПравить

Всякое метрическое пространство   можно вложить в полное пространство   таким образом, что метрика   продолжает метрику  , а подпространство   всюду плотно в  . Такое пространство   называется пополнением   и обычно обозначается  .

ПостроениеПравить

Для метрического пространства  , на множестве фундаментальных последовательностей в   можно ввести отношение эквивалентности

 

Множество классов эквивалентности   с метрикой, определённой

 

является метрическим пространством. Само пространство   изометрически вкладывается в него следующим образом: точке   соответствует класс постоянной последовательности  . Получившееся пространство   и будет пополнением  .

СвойстваПравить

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического   пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Метрическое пространство   компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено; то есть, для любого   пространство   можно покрыть конечным числом шаров радиуса  .
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.
  • Полнота метрического пространства не является топологическим свойством. То есть полное метрическое пространство может оказаться не полным при замене метрики на эквивалентную, то есть метрику, порождающую ту же топологию, что и исходная метрика.
    • Топологическим свойством является наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства (так называемая метрическая топологическая полнота или метризуемость полной метрикой).

ПримерыПравить

Полные метрические пространстваПравить

  • Множество вещественных (действительных) чисел   полно в стандартной метрике  .
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно[1].
  • Свойство полноты является обязательным в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
  • Пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой является полным метрическим пространством, а потому является банаховым, если рассматривать его как нормированное линейное пространство.

Неполные метрические пространстваПравить

  • Рациональные числа   со стандартным расстоянием   являются неполным метрическим пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел  .
  • Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел  .
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций в интегральной метрике  . Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщенияПравить

  • Если   имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Шилов, 1961, с. 40.

ЛитератураПравить

  • Зорич В.А. Математический анализ. — Т. 2. IX, §5.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.