Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией . Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив полученный моноид обычно обозначается как .

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

ОпределениеПравить

Полугруппой является (непустое) множество  , в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов   определён новый элемент, называемый их произведением  , причём для любых   всегда выполнено  [1].

Виды полугруппПравить

  • Полугруппа   называется коммутативной, если для любых   всегда выполнено  .
  • Полугруппа   называется группой, если для любых   в   всегда найдутся такие  , что  .
  • Полугруппа   называется полугруппой с левым сокращением, если при любых   из   всегда следует  .
  • Полугруппа   называется полугруппой с правым сокращением, если при любых   из   всегда следует  .
  • Полугруппа   называется полугруппой с двусторонним сокращением, если она одновременно является и полугруппой с левым сокращением и полугруппой с правым сокращением[2].
  • Элемент   полугруппы   называется регулярным, если в   найдется такой элемент  , что  . Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется регулярной полугруппой.
  • Элемент   полугруппы   называется вполне регулярным, если в   найдется такой элемент  , что  . Полугруппа, все элементы которой вполне регулярны, называется вполне регулярной полугруппой[3].

Структура полугруппыПравить

Если  , то принято обозначать  .

Подмножество   полугруппы   называется подполугруппой, если оно само является полугруппой относительно ограничения операции на подмножество. Для этого достаточно, чтобы для любых двух элементов из   их произведение также принадлежало  .

Если подмножество   непусто и   (соответственно,  ) лежит в  , то   называют правым (соответственно, левым) идеалом. Если   является одновременно левым и правым идеалом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение и объединение любого семейства подполугрупп также является подполугруппой; из этого следует, что подполугруппы образуют полную решётку. Пример полугруппы, в которой нет минимального идеала — положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как:

 .

Для степени элемента справедливо соотношение  .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов   и   определено правое   и левое   частное.

В конечной полугруппе всегда есть идемпотент (элемент, для которого  ).

Гомоморфизм полугрупп — это отображение, сохраняющее структуру полугруппы. А именно, отображение   из полугруппы   в полугруппу   называется гомоморфизмом, если  . Две полугруппы   и   называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм  .

Отношения ГринаПравить

В 1951 году Джеймс Грин[en] ввёл пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе   определяются следующими формулами:

 
 
 
 
 

Из определения непосредственно следует, что   — правая конгруэнция, а   — левая конгруэнция. Также известно, что  . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы   и   R-эквивалентны,  ,   такие, что  ,   и   — соответствующие правые сдвиги, то   — взаимно обратные биекции   на   и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Шеврин Л. Н. . Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Ляпин Е. С. Полугруппы. — М.: Физматлит, 1960. — 592 с.