Открыть главное меню

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.

Архимедовы телаПравить

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

  • Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело);
  • для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Каталановы телаПравить

Тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

То есть полуправильными в этом случае называются тела, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел:

  • Все грани являются правильными многоугольниками;
  • Все грани одинаковы;
  • Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии.

Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел.

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и плосконосый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел.

Список полуправильных многогранниковПравить

Многогранник — архимедово тело Грани Вершины Рёбра Конфигурация
вершины
Двойственный — каталаново тело Группа симметрии

Кубооктаэдр
8 треугольников
6 квадратов
12 24 3,4,3,4
Ромбододекаэдр
Oh

Икосододекаэдр
20 треугольников
12 пятиугольников
30 60 3,5,3,5
Ромботриаконтаэдр
Ih

Усечённый тетраэдр
4 треугольника
4 шестиугольника
12 18 3,6,6
Триакистетраэдр
Td

Усечённый октаэдр
6 квадратов
8 шестиугольников
24 36 4,6,6
Тетракисгексаэдр
(преломлённый куб)
Oh

Усечённый икосаэдр
12 пятиугольников
20 шестиугольников
60 90 5,6,6
Пентакисдодекаэдр
Ih

Усечённый куб
8 треугольников
6 восьмиугольников
24 36 3,8,8
Триакисоктаэдр
Oh

Усечённый додекаэдр
20 треугольников
12 десятиугольников
60 90 3,10,10
Триакисикосаэдр
Ih

Ромбокубоктаэдр
8 треугольников
18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом)
24 48 3,4,4,4
Дельтоидальный икоситетраэдр
Oh

Ромбоикосододекаэдр
20 треугольников
30 квадратов
12 пятиугольников
60 120 3,4,5,4
Дельтоидальный гексеконтаэдр
Ih

Ромбоусечённый кубооктаэдр
12 квадратов
8 шестиугольников
6 восьмиугольников
48 72 4,6,8
Гекзакисоктаэдр
Oh

Ромбоусечённый икосододекаэдр
30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
120 180 4,6,10
Гекзакисикосаэдр
Ih


Курносый куб
32 треугольника
6 квадратов
24 60 3,3,3,3,4

Пентагональный икоситетраэдр

O


Курносый додекаэдр
80 треугольников
12 пятиугольников
60 150 3,3,3,3,5

Пентагональный гексеконтаэдр

I

ПрочиеПравить

Помимо архимедовых и каталановых тел, существуют бесконечные последовательности многогранников, относимых к полуправильным: те правильные призмы и правильные антипризмы, у которых все рёбра равны.

ИспользованиеПравить

Каталановы тела — наряду с платоновыми телами, равногранными бипирамидами и трапецоэдрами — используются в качестве игральных костей в некоторых настольных играх (см. фотографии). Архимедовы тела, у которых грани не равноправны и потому имеют разные шансы выпадения, для этой цели мало пригодны.

См. такжеПравить

СсылкиПравить