Открыть главное меню

Сферический сегмент

(перенаправлено с «Полусфера»)
Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент.

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом[1]. Если плоскость проходит через центр сферы, так что высота обоих сегментов равна радиусу сферы, то такие сферические сегменты называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, ограниченное сферическим сегментом и совпадающим с ним границей кругом-основанием.

Объём и площадь поверхностиПравить

Если радиус основания сегмента равен  , высота сегмента равна  , тогда объём шарового сегмента равен [2]

 ,

площадь поверхности сегмента равна

 

или

 .

Параметры  ,   и   связаны соотношениями

 ,
 .

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

 .

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке)  , в нижней части сферы  , следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение   и можно привести другое выражение для объёма:

 .

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

 .

ПрименениеПравить

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сферПравить

Объём объединения двух сфер радиусов r1 и r2 равен [3]

 ,

где

 

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

 

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r1 + r2 — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h1 и h2 приводит к выражению [4][5]

  .

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широтПравить

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ1 и φ2 данная площадь равна [6]

 .

ОбобщенияПравить

Сечения других телПравить

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферыПравить

Объём  -мерного сегмента гиперсферы высотой   и радиуса   в  -мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [7]

 

где   (гамма-функция) задается выражением  .

Выражение для объёма   можно переписать в терминах объёма единичного  -мерного шара   и гипергеометрической функции   или регуляризованной неполной бета-функции   как

 .

Формула для площади поверхности   может быть записана в терминах площади поверхности единичного  -мерного шара   как

 ,

где  .

Также справедливы следующие формулы[8]:  , где  ,

 .

При  

 .

Было показано[9], что при   и    , где  стандартное нормальное распределение.

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 519-520.
  2. Polyanin, Andrei D & Manzhirov, Alexander V. (2006), Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists, CRC Press, с. 69, ISBN 9781584885023, <https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PA69> .
  3. Connolly, Michael L. Computation of molecular volume (англ.) // J. Am. Chem. Soc (англ.) : journal. — 1985. — Vol. 107. — P. 1118—1124. — DOI:10.1021/ja00291a006.
  4. Pavani, R.; Ranghino, G. A method to compute the volume of a molecule (неопр.) // Comput. Chem.. — 1982. — Т. 6. — С. 133—135. — DOI:10.1016/0097-8485(82)80006-5.
  5. Bondi, A. Van der Waals volumes and radii (англ.) // J. Phys. Chem. (англ.) : journal. — 1964. — Vol. 68. — P. 441—451. — DOI:10.1021/j100785a001.
  6. Scott E. Donaldson, Stanley G. Siegel. Successful Software Development. Дата обращения 29 августа 2016.
  7. Li, S. Concise Formulas for the Area and Volume of a Hyperspherical Cap (англ.) // Asian J. Math. Stat. : journal. — 2011. — Vol. 4, no. 1. — P. 66—70. — DOI:10.3923/ajms.2011.66.70.
  8. Chudnov, Alexander M. On minimax signal generation and reception algorithms (rus.) (англ.) // Problems of Information Transmission : journal. — 1986. — Vol. 22. — P. 49—54.
  9. Chudnov, Alexander M. Game-theoretical problems of synthesis of signal generation and reception algorithms (rus.) (англ.) // Problems of Information Transmission : journal. — 1991. — Vol. 27. — P. 57—65.