Поризм Понселе

Поризм Понселе.svg

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

ИсторияПравить

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814 годах, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 годах — под заглавием «Applications d’Analyse et de Géometrie»)[источник не указан 1645 дней].

Частный случай для треугольников следовал из теоремы Эйлера.

ФормулировкаПравить

Пусть   — многоугольник с   различными вершинами, вписанный в конику   и описанный около другой коники  . Тогда для любых точек   коники  , таких, что   и   касается  , существует многоугольник  , вписанный в   и описанный около  .[1]

ЗамечанияПравить

  • Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками, так что это — особый случай поризма Понселе может быть выражен лаконично, учитывая, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного множества бицентрических многоугольников относительно одних и тех же двух кругов[2]:p. 94.

Алгебраическое доказательствоПравить

Рассмотрим множество пар вида «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из неё ко внутренней». Это множество может быть определено алгебраическим уравнением в произведении проективной плоскости и двойственной к ней (то есть множества прямых на исходной плоскости), которое является проективным благодаря вложению Сегре. Ясно, что в общей конфигурации получившееся алгебраическое многообразие будет невырожденной кривой. Вычислим её род по формуле Римана — Гурвица[en]: это многообразие естественным образом (отображением забывания прямой) проецируется на внешнее коническое сечение, причём над общей точкой будет висеть два прообраза, и лишь только в четырёх точках — точках пересечения конических сечений, существование которых гарантируется теоремой Безу, — оно имеет один прообраз, то есть оно разветвлено в этих четырёх точках, и только в них. Стало быть, эйлерова характеристика накрывающей кривой равна  , то есть кривая имеет род 1 и в силу невырожденности является эллиптической кривой.

Будем стартовать из какой-то точки, проводя касательные. Имея выделенную точку старта и направление обхода, мы получаем последовательность пар типа «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из ней ко внутренней». Заметим, что одной невырожденной точке на внешней конике соответствуют две точки на эллиптической кривой (соответствующие двум исходящим из ней касательным), и сумма их как точек эллиптической кривой даёт отображение из внешней коники в эллиптическую кривую, которое является отображением в точку, поскольку может быть поднято на универсальную накрывающую — комплексную плоскость, где, в силу компактности сферы, оно будет ограниченным и, по теореме Лиувилля, постоянным. Стало быть, переброска касательной, исходящей из одной точки, задаётся отображением  , где   — константа. Аналогично переброска точки, лежащей на касательной, имеет вид  , а их композиция, таким образом, имеет вид  ; но композиция — это построение следующей стороны цепи по предыдущей, и замыкание цепи равносильно тому, что   лежит в кручении эллиптической кривой как группы по сложению, и, стало быть, не зависит от начальной точки; равно так же от неё не зависит и порядок кручения, то есть число шагов, за которое цепь замкнётся.

Вариации и обобщенияПравить

Теорема КэлиПравить

Пусть   — окружность  , а   — эллипс  . Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции  . (Каждый коэффициент   вычисляется через   и  , например,  .) А именно:

  1. Цепь Понселе пары   и   зацикливается за   шагов тогда и только тогда, когда
     
  2. Цепь Понселе пары   и   зацикливается за   шагов тогда и только тогда, когда[3]
     

Теорема ШварцаПравить

Пусть   — цепь Понселе. Обозначим через   прямую   и рассмотрим точки пересечения  . Тогда для любого целого  

  1. Все точки   лежат на одном коническом сечении.
  2. Все точки   лежат на одном коническом сечении.

Многомерный аналогПравить

Алгебраическое доказательство теоремы Понселе опирается на тот факт, что пересечение двух квадрик в трёхмерном проективном пространстве — это эллиптическая кривая. В 1972 году Майлз Рид в своей диссертации доказал обобщение этого факта. Именно, теорема Рида утверждает, что многообразие, параметризующее линейные  -мерные подпространства в  -мерном проективном пространстве, лежащие на пересечении двух  -мерных квадрик (при условии, что это пересечение неособо), есть якобиево многообразие некоторой гиперэллиптической кривой (разветвлённого двойного накрытия рациональной кривой).[4] Эту гиперэллиптическую кривую можно построить как геометрическое место  -мерных подпространств на пересечении двух квадрик, которые пересекают некоторое фиксированное  -мерное подпространство, также лежащее на пересечении квадрик, по подпространству размерности не менее  . Если эти квадрики приведены к главным осям (то есть имеют однородные уравнения

 

 

для некоторых коэффициентов  ), то эта кривая бирационально изоморфна кривой, заданной уравнением

 

Донаги заметил, что закон сложения на таком многообразии можно определять геометрически. Именно, если   — какая-то квадрика из пучка, порождённого нашими двумя квадриками (обозначим их за   и  ),   и   — два  -мерных подпространства, лежащих на   и относящихся к одному и тому же связному семейству, и   высекает на пересечении двух квадрик два  -мерных подпространства   и  , то сложение однозначно определяется правилом   (и выбором нуля).[5] К примеру, если  , то сложение точек на эллиптической кривой определяется следующим образом. Выберем точку   в качестве нуля. Для того, чтобы сложить точки   и  , проведём прямую  , и рассмотрим квадрику из пучка, на которой эта прямая лежит (такая квадрика единственна и может быть построена, например, как объединение секущих прямой  , дважды пересекающих эллиптическую кривую). Прямая  , будучи образующей двумерной квадрики, принадлежит к однопараметрическому связному семейству. Выберем из этого семейства прямую  , проходящую через точку  . Вторая точка пересечения прямой   с эллиптической кривой и будет суммой искомой суммой  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Марсель Берже, Геометрия, Следствие 16.6.11.
  2. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
  3. Dragović, Vladimir, Radnović, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. — Springer, 2011. — С. 116. — (Frontiers in Mathematics). — ISBN 3034800142.
  4. Reid, M.: The complete intersection fo two or more quadrics. Thesis, Cambridge (GB) 1972
  5. Donagi, R.: Group law on intersections of two quadrics. Preprint UCLA 1978

ЛитератураПравить

  • Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

СсылкиПравить