Открыть главное меню

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое , такое что -кратное групповое умножение данного элемента на себя даёт нейтральный элемент:

.

Иными словами,  — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что имеет бесконечный порядок. Обозначается как или .

Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.

Основные свойстваПравить

Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.

Если всякий не нейтральный элемент в   совпадает со своим обратным (то есть  ), то   и   является абелевой, поскольку  . Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа   целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

 .

Для любого целого   тождество   выполнено тогда и только тогда, когда   делит  .

Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если   имеет конечный порядок, то порядок   равен порядку  , делённому на наибольший общий делитель чисел   и  . Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента ( ).

Связь с порядком группыПравить

Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе  , состоящей из шести элементов, нейтральный элемент   имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из   — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.

Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число   делит порядок группы  , то существует элемент  , для которого  . Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.

Порядок произведенияПравить

В любой группе  .

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения   с порядками сомножителей   и  . Возможен случай, когда и  , и   имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения   бесконечен, также возможно, что и  , и   имеют бесконечный порядок, в то время как   конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами  , тогда  . Пример второго случая — перестановки в той же группе  , произведение которых является нейтральным элементом (перестановка  , оставляющая элементы на своих местах). Если   то можно утверждать, что   делит наименьшее общее кратное чисел   и  . Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.

Подсчёт по порядку элементовПравить

Для данной конечной группы   порядка  , число элементов с порядком   (  — делитель  ) кратно  , где   — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих   и взаимно простых с ним. Например, в случае    , и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку  , и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как  , поскольку  , и в группе   имеется нуль элементов порядка 6.

Связь с гомоморфизмамиПравить

Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если   является гомоморфизмом, и   — элемент конечного порядка, то   делит  . Если   инъективно, то  . Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма  , поскольку любое число, за исключением нуля, в   имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов  .) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.

ЛитератураПравить

  • Курош А.Г. Теория групп. — Москва: Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
  • Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А.  Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.