Последовательность Люка

Не следует путать с числами Люка.

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей $\{U_{n}(P,Q)\}$ и $\{V_{n}(P,Q)\}$, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

$U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0$

$V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0$

Примеры

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

• $\{U_{n}(1,-1)\}$ — числа Фибоначчи
• $\{V_{n}(1,-1)\}$ — числа Люка
• $\{U_{n}(2,-1)\}$ — числа Пелля
• $\{V_{n}(2,-1)\}$ — числа Пелля — Люка
• $\{U_{n}(3,2)\}$ — числа Мерсенна
• $\{V_{2^{n}}(3,2)\}$ — числа Ферма
• $\{U_{n}(1,-2)\}$ — числа Якобшталя
• $\{U_{n}(2x,1)\}$ — многочлены Чебышёва второго рода
• $\{V_{n}(2x,1)\}$ — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Явные формулы

Характеристическим многочленом последовательностей Люка $\{U_{n}(P,Q)\}$ и $\{V_{n}(P,Q)\}$ является:

$x^{2}-P\cdot x+Q.$

Его дискриминант $D=P^{2}-4Q$ предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

$\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}$ и $\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}$

можно использовать для получения явных формул:

$U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}$

и

$V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.$

Формулы Виета позволяют также выразить $P$ и $Q$ в виде:

$P=\alpha +\beta ,$

$Q=\alpha \cdot \beta .$

Вырожденный случай

Дискриминант $D$ обращается в ноль при $P=2S,Q=S^{2}$ для некоторого числа $S$. При этом выполняется $\alpha =\beta =S$ и соответственно:

$U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},$

$V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.$

Свойства

$DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}$

$V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}$

$U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}$

$V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}$

$U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}$

$V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}$

$U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}$

Ссылки

• В. П. Паламодов. О многочленах, образующих возвратную последовательность 2-го порядка // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1957. — Вып. 1. — С. 139-147.
• Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.