Постоянные Фейгенбаума

Основная статья: Теория бифуркаций

Постоянные Фейгенбаума — универсальные постоянные, характеризующие бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыты Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 году.

Вещественные константы ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π

Каскад бифуркаций для логистического отображения. Над каждой точкой $a$ на оси абсцисс отложены точки соответствующего предельного цикла отображения $x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})$. Видно, что при увеличении $a$ неподвижная точка сменяется циклом длины 2, он, в свою очередь, циклом длины 4, и так далее. Первая константа Фейгенбаума равна пределу отношения $L_{i}/L_{i+1}$, где $L_{i}$ — расстояния между точками бифуркаций.

Первая константа Фейгенбаума

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций — это рекуррентные последовательности $x_{n+1}=f_{a}(x_{n})$, где $a$ — некоторый параметр. Один из простейшиx примеров функции $f_{a}(x)$ — логистическое отображение

$x_{n+1}=f_{a}(x_{n})=ax_{n}(1-x_{n})$

В зависимости от параметра $a$, в системе может присутствовать неподвижная точка или предельный цикл. При изменении $a$ может произойти бифуркация, при которой предельный цикл удваивает свой период. Обозначим за $a_{n}$ значения $a$, при которых происходит удвоение периода. Оказывается, что при больших $n$ значения $a_{n}$ сходятся к фиксированному значению $a_{\infty }$. Сходимость происходит по геометрической прогрессии, причём показатель этой геометрической прогрессии оказывается одинаковым для широкого класса функций $f_{a}(x)$ (универсальность Фейгенбаума). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума

$\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4{,}669\;201\;609\;102\;990\;671\;853\;203\;820\;466\;\ldots ,$

При $a>a_{\infty }$ динамика системы становится хаотичной.

Физический смысл первой константы Фейгенбаума — скорость перехода к хаосу систем, испытывающих удвоение периода.

Она характеризует каскад удвоения периода во многих сложных динамических системах, таких, как система Рёсслера, турбулентность, рост популяций и пр.

Вторая константа Фейгенбаума

Вторая константа Фейгенбаума

$\alpha =2{,}502\;907\;875\;095\;892\;822\;283\;902\;873\;218\;\ldots$ —

определяется как предел отношения между шириной ветвей на диаграмме бифуркаций (см. рисунок). Эта константа тоже возникает в описании многих динамических систем.

Свойства констант Фейгенбаума

Предполагается, что обе константы являются трансцендентными, хотя это ещё не доказано.

См. также

• Каскад бифуркаций
• Бифуркационная диаграмма
• Универсальность Фейгенбаума

Ссылки

• Д. И. Трубецков. Турбулентность и детерминированный хаос
• Feigenbaum Constant (англ.)
• Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium] https://www.youtube.com/watch?v=DH1cv0Rdf2w