Потенциал Леннарда-Джонса

Потенциал Леннард-Джонса (потенциал 6-12) — простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Эта модель достаточно реалистично передаёт свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчётах и при компьютерном моделировании. Впервые этот вид потенциала был предложен Леннард-Джонсом в 1924 г.

Вид потенциала взаимодействия

Характерный вид потенциала Леннард-Джонса.

Потенциал Леннард-Джонса записывается в следующем виде:

$U(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right],$

где $r$ — расстояние между центрами частиц, $\varepsilon$ — глубина потенциальной ямы, $\sigma$ — расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю. Параметры $\varepsilon$ и $\sigma$ являются характеристиками атомов соответствующего вещества. Характерный вид потенциала показан на рисунке, его минимум лежит в точке $r_{min}=\sigma {\sqrt[{6}]{2}}$.

При больших $r$ молекулы притягиваются, что соответствует члену $-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}$ в формуле. Эту зависимость можно обосновать теоретически, и обусловлена она силами Ван-дер-Ваальса (диполь-дипольное индуцированное взаимодействие).

На малых же расстояниях молекулы отталкиваются из-за обменного взаимодействия (при перекрытии электронных облаков молекулы начинают сильно отталкиваться), чему соответствует член $\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}$. Данный конкретный вид потенциала отталкивания, в отличие от вида потенциала притяжения, не имеет под собой теоретического обоснования. Более обоснованной является экспоненциальная зависимость. Однако потенциал отталкивания Леннард-Джонса более удобен в вычислениях, так как $r^{12}=\left(r^{6}\right)^{2}$, что и оправдывает его применение.

Различные формы записи

Потенциал Леннард-Джонса также часто записывается в следующем простейшем виде:

$U(r)={\frac {a_{1}}{r^{12}}}-{\frac {a_{2}}{r^{6}}},$

где

$a_{1}=4\varepsilon \sigma ^{12},\;\;\;a_{2}=4\varepsilon \sigma ^{6}.$

Встречается и такая форма записи:

$U(r)=\varepsilon \left[\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{12}-2\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{6}\right],$

где $r_{min}$ = $\sigma {\sqrt[{6}]{2}}$ — точка минимума потенциала.

Термодинамические свойства

Модель Леннард-Джонса можно использовать при описании газообразной, жидкой и твёрдой фаз вещества. Наименьшее значение свободной энергии для условного вещества, для которого справедлива модель Леннард-Джонса достигается при гексагональной плотной упаковке. При повышении температуры структура с наименьшей свободной энергией сменяется на кубическую гранецентрированную плотную упаковку, а затем наблюдается переход к жидкости. Под действием давления для структуры с наименьшей энергией происходит переход от кубической плотной упаковки к гексагональной плотной упаковке.

Критическая точка для рассматриваемого условного вещества в безразмерных переменных ($T^{*}=k_{B}T/\varepsilon ,\;\rho ^{*}=\rho \sigma ^{3}$) лежит при следующих значениях температуры и концентрации:

$T_{c}^{*}=1{,}326\pm 0{,}002,\;\;\;\rho _{c}^{*}=0{,}316\pm 0{,}002.$

Флигенхарт и Леккеркеркер предложили следующее выражение для связи критической точки и второго вириального коэффициента:

$B_{2}\vert _{T=T_{c}}=-\pi \sigma ^{3}$

Положение тройной точки было установлено Мастни и Пабло:

$T_{tp}^{*}=0{,}694,$

$\rho _{tp}^{*}=0{,}84$ (жидкость); $\rho _{tp}^{*}=0{,}96$ (твёрдое тело).

Применение в компьютерном моделировании

Оборванный потенциал

Для ускорения расчётов потенциал Леннард-Джонса часто обрывают на расстоянии $r_{c}=2{,}5\sigma$. Выбор $r_{c}=2{,}5\sigma$ обусловлен тем, что на этом расстоянии значение энергии взаимодействия составляет лишь ≈0,0163 от глубины ямы $\varepsilon$.

Однако обрывать потенциал таким способом не всегда удобно. А именно, подобный обрыв означает, что при пересечении молекулой сферы радиуса $r_{c}$ энергия системы меняется скачком, или, что то же самое, на молекулу действует бесконечно большая сила. Для того чтобы избежать этой нефизической ситуации, при обрыве потенциала его так же сдвигают, так что выполняется $U(r_{c})=0$:

${\begin{cases}U(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]-U_{LJ}(r_{c})&r\leqslant r_{c},\\0&r>r_{c},\end{cases}}$

$U_{LJ}(r_{c})$ — значение необорванного потенциала Леннард-Джонса на расстоянии $r_{c}$.

Приближение сплайнами

Ещё одним из способов ускорения вычислений является использование сплайнов. При этом потенциал взаимодействия разбивается на несколько участков, на каждом из которых он приближается простой функцией. Часто используется следующее приближение:

${\begin{cases}U(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]&r\leqslant r_{s},\\k_{1}(r-r_{c})^{3}+k_{2}(r-r_{c})^{2}&r_{s}<r\leqslant r_{c}\\0&r>r_{c},\end{cases}}$

здесь $r_{s}=(26/7)^{1/6}\sigma \approx 1{,}24\sigma ,\;r_{c}=67/48r_{s}\approx 1{,}73\sigma ,\;k_{1}=\textstyle {-{\frac {387072}{61009}}}\varepsilon /r_{s}^{3},\;k_{2}=\textstyle {-{\frac {24192}{3211}}}\varepsilon /r_{s}^{2}$.

Потенциал m-n

Иногда под потенциалом Леннард-Джонса подразумевается его более общая форма, а именно:

$U(r)=c_{m,n}\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{m}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{n}\right].$

где $m,n\in \mathbb {N} ,\,m>n$. Коэффициент $c_{m,n}$ выбирается так, чтобы минимальное значение потенциальной энергии $U(r)$ равнялось $-\varepsilon$.

Экспериментальные методы определения параметров ε и σ

Параметры $\varepsilon$, $\sigma$ можно найти двумя методами.

Один метод основан на сравнении экспериментальных значений второго вириального коэффициента функции состояний неидеального газа $\Omega (T)$ для потенциальной энергии конфигураций со значениями, полученными на основе использования параметров $\varepsilon$, $\sigma$. Значения $\varepsilon$, $\sigma$, найденные таким образом, хорошо согласуются со значениями, найденными через коэффициент Джоуля-Томсона.

По другому методу, параметры $\varepsilon$, $\sigma$ можно найти, сравнивая экспериментальное значение коэффициента вязкости со значением, полученным из формулы для потенциальной энергии.

Значения параметров ε и σ для некоторых веществ

Таблицы значений параметров $\varepsilon$, $\sigma$ для некоторых веществ есть в книге .

Границы применимости

Хотя потенциал Леннард-Джонса и используется при моделировании жидкости и твёрдых тел, строго говоря, взаимодействие молекул при больших плотностях уже не является парным. В конденсированных средах на рассматриваемую пару молекул влияют молекулы окружения. Так, было найдено, что для твёрдого аргона вклад в энергию от тройных взаимодействий может достигать 10 процентов. Однако вычислительный учёт тройных взаимодействий слишком дорог, поэтому обычно довольствуются неким эффективным парным потенциалом, где параметры $\varepsilon$ и $\sigma$ отличаются от таковых для разреженных газов.

Литература

• Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 312 с.
• M. P. Allen, D. J. Tildesley Computer Simulation of Liquids — Oxford University Press, 1990 ISBN 0198556454, ISBN 9780198556459
• Цянь Сюэ-Сень. Физическая механика. — М.: Мир, 1965. — 544 с.

См. также

• Межмолекулярное взаимодействие
• Потенциал Штокмайера
• Потенциал Букиннгема

Ссылки

• Lennard-Jones model on SklogWiki.