Поток (геометрическая теория меры)

Пото́к — обобщение понятия подмногообразия играющее ключевую роль в геометрической теории меры. В частности, при помощи потоков обычно доказывается существование минимальных поверхностей с особенностями.

Потоки определяются подобно обобщённым функциям — поток есть линейный функционал на пространстве дифференциальных форм.

Определение

Обозначим через $\Omega _{c}^{m}(M)$ пространство гладких $m$-форм с компактным носителем на гладком многообразии $M$. Поток определяется как  линейный функционал на $\Omega _{c}^{m}(M)$ непрерывен в смысле распределений. То есть, линейный функционал

$T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}$

есть $m$-поток, если для любой последовательности $\omega _{k}$ гладких форм, носители челнов которой лежат в одном компактном множестве, сходящейся к нулевой форме в $C^{\infty }$ имеем

$T(\omega _{k})\to 0$

Замечания

• Пространство ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ из $m$-мерных потоков на $M$ это вещественное векторное пространство.

• Многое свойства обобщенных функций переносятся на потоки. Например, можно определить носитель потока $T$ как дополнение максимальному открытому множеству $U\subset M$ такому, что

  $T(\omega )=0$ для любой формы $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$.

  • Пространство $m$-мерных потоков с компактным носителем обычно обозначают ${\mathcal {E}}_{m}(M)$.

• Пространство потоков естественно, наделено слабой топологией.

  $T_{k}\to T\quad \iff \quad T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,$

Нормы

Можно определить несколько норм на подпространстве пространства всех потоков. Одной из таких норм является масса.

$\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\},$

где $|\vert \omega (x)\vert |$ есть $L^{\infty }$-норма на пространстве форм.

Масса потока является естественным обобщением объёма подмногообразия.

Плоская норма, определяется как

$\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\colon A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.$

Литература

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.