Десятиугольник

(перенаправлено с «Правильный десятиугольник»)
Правильный десятиугольник
Regular decagon.svg
Сторон и вершин 10
Символ Шлефли {10}
Внутренний угол 144°
Симметрия Диэдрическая (), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольникПравить

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

 

Альтернативная формула  , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

 

и может быть представлен в радикалах как

 

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна  , где   - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

 

а радиус вписанной окружности

 

ПостроениеПравить

 
Построение правильного десятиугольника.[1]

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:

  1. Построить сначала правильный пятиугольник.
  2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
  3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольникаПравить

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный  -угольник (в общем случае -  -угольный зоногон) можно разбить на   ромбов. Для декагона  , так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольникПравить

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }
 

Пятиугольная антипризма

 

Пентаграммная антипризма

 

Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D5d [2+,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
 Додекаэдр  Икосаэдр  Икосододекаэдр  Ромботриаконтаэдр

Многоугольники ПетриПравить

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

A9 D6 B5
 9-симплекс  411  131  5-ортоплекс  5-куб

ПримечанияПравить

СсылкиПравить