Пра́вильный додека́эдр (др.-греч. δωδεκάεδρον, от δώδεκα — «двенадцать» и ἕδρα — «грань») — один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников[1], являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Правильный додекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип правильный многогранник
Свойства выпуклый
Комбинаторика
Элементы
12 граней
30 рёбер
20 вершин
Χ = 2
Грани правильные пятиугольники
Конфигурация вершины 53
Двойственный многогранник правильный икосаэдр
Классификация
Обозначения U23, C26, W5
Символ Шлефли {5,3}
Символ Витхоффа[en] 3 | 2 5
Диаграмма Дынкина node_15node3node
Группа симметрии Ih, H3, [5,3], (*532)
Группа вращения I, [5,3]+, (532)
Количественные данные
Длина ребра
Площадь поверхности
Объём
Двугранный угол
Телесный угол при вершине
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе
Додекаэдр и его описанная сфера

История править

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости[2][3].

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»[4]. Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба[5][6]:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях[7][6]:318-319[8].

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Вскоре после появления кубика Рубика, в 1981 году была запатентована подобная головоломка в форме правильного додекаэдра — мегаминкс. Как и у классического кубика Рубика, к каждому ребру у неё прилегает по три детали[9]. Позднее, как и для кубика Рубика появились такие додекаэдрические головоломки с четырьмя деталями при ребре (гигаминкс), пятью (тераминкс) и т.д. Сложность и время сборки их, как и для кубика Рубика возрастает по мере увеличения числа деталей при ребре.

Основные формулы править

Если за длину ребра принять  , то площадь поверхности додекаэдра равна

 

Объём додекаэдра

 

Радиус описанной сферы[10]

 

Радиус полувписанной сферы равен  [10]

Радиус вписанной сферы[10]

 

Свойства править

  • Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
  • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(−1/√5) ≈ 116,565°[10].
  • Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 стерадиана.
  • В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
  • Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
  • В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все рёбра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трёхмерных пространств.
  • Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности. Эти две величины равны, соответственно,   и  , где   — длина ребра додекаэдра.

Элементы симметрии додекаэдра править

  • Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных рёбер.
  • Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
  • Группа вращений додекаэдра обозначается   и изоморфна  (знакопеременная группа степени 5), а полная группа симметрий   изоморфна  .

Связь со сферическим замощением править

Правильный додэкаэдр также индуцирует замощение сферы правильными пятиугольниками.

   
Ортографическая проекция[en] Стереографическая проекция

Интересные факты править

В культуре править

  • Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх[15], и обозначается при этом d12 (dice — кости).
  • Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней[15].
  • В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры[источник не указан 2940 дней].
  • В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии Sonic the Hedgehog вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса[источник не указан 2940 дней].
  • В игре «Destiny» форму додекаэдра имеют энграммы[источник не указан 2940 дней].
  • В игре «Overwatch» персонаж Сигма при основной атаке выпускает по 2 додекаэдра[источник не указан 1417 дней].
  • Пульт управления системой освещения Nanoleaf Smart Remote Control [16].

См. также править

Примечания править

  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Stefano De' Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa (итал.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — P. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
  3. Amelia Carolina Sparavigna. An Etruscan Dodecahedron. — arXiv:1205.0706.
  4. Платон. «Тимей»
  5. Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17. Дата обращения: 1 июня 2014. Архивировано 19 мая 2014 года.
  6. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. Архивировано 5 июня 2014 года. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  7. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Т. I. — С. 156—163.
  8. Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number (англ.). — Courier Dover Publications, 2013. — P. 117—118.
  9. Хорт В. Отчаянные головоломки. Мегаминкс — каверзный додекаэдр // Наука и жизнь. — 2018. — № 1. — С. 104—109. В этой статье, помимо прочего, приведён алгоритм сборки мегаминкса.
  10. 1 2 3 4 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005—2007). Дата обращения: 1 июня 2014. Архивировано 4 марта 2016 года.
  11. http://www.biodiversitylibrary.org/page/10685137#page/111/mode/1up таблице XVII] Архивная копия от 7 июня 2014 на Wayback Machine четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
  12. The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.). Дата обращения: 31 октября 2012. Архивировано 7 декабря 2013 года.
  13. Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.). Дата обращения: 31 октября 2012. Архивировано 7 декабря 2013 года.
  14. Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано 4 ноября 2012 года.
  15. 1 2 A. T. White. Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3.
  16. Products » Nanoleaf Remote | USA » Consumer IoT & LED Smart Lighting Products (амер. англ.). Nanoleaf | USA. Дата обращения: 25 ноября 2021. Архивировано 25 ноября 2021 года.

Ссылки править