Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник[1], одно из платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Правильный икосаэдр
(вращающаяся модель)
(вращающаяся модель)
Тип правильный многогранник
Комбинаторика
Элементы
20 граней
30 рёбер
12 вершин
Χ = 2
Грани правильные треугольники
Конфигурация вершины 3.3.3.3.3
Двойственный многогранник правильный додекаэдр
Классификация
Обозначения
  • I
  • sT
Символ Шлефли {3,5}
Символ Витхоффа[en] 5 | 2 3
Диаграмма Дынкина node5node3node_1
Группа симметрии
Группа вращения
Количественные данные
Длина ребра
Площадь поверхности
Объём
Двугранный угол
Телесный угол при вершине ср
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе
Икосаэдр и его описанная сфера
Правильный икосаэдр, вписанный в сферу. Видно, что его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях, как доказал Папп Александрийский

История править

Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины[2][3]:127-131. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника[3]:315-316[4].

Основные формулы править

Площадь поверхности S, объём V правильного икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

 

Объём:

 

Радиус вписанной сферы[5]:

 

Радиус полувписанной сферы равен  [5]

Радиус описанной сферы[5]:

 

Свойства править

  • Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями правильного икосаэдра равен arccos(−53) = 138,189685°.
  • Все двенадцать вершин правильного икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
  • Десять вершин правильного икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям. Расстояние между симметричными парами вышеупомянутых плоскостей, образованных пятью вершинами равно радиусу круга описываемого вокруг этого пятиугольника (это правило позволяет довольно легко создать 3D-модель правильного икосаэдра).
  •  
    Икосаэдральный угол
    Угол между двумя соседними вершинами относительно центра тела правильного икосаэдра называют икосаэдральным углом. Он равен арккотангенсу 12 (arcctg 12 ≈ 63,434949°), или углу между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, у которого отношение сторон равно 1:2.
  • Правильный икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
  • В правильный икосаэдр может быть вписан правильный тетраэдр так, что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
  • Правильный икосаэдр и правильный додекаэдр являются двойственными многогранниками:
    • Правильный икосаэдр можно вписать в правильный додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
    • В правильный икосаэдр можно вписать правильный додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
  • Собрать модель правильного икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
  • Невозможно собрать правильный икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус сферы, описанной вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра. Правильный икосаэдр можно разбить на 20 тетраэдров, соединив вершины икосаэдра с его центром, но эти тетраэдры не являются правильными — угол между их рёбрами при вершине, совпадающей с центром икосаэдра, равен икосаэдральному углу (≈63,434949°), а не 60°, как у правильного тетраэдра.

Усечённый икосаэдр править

 
Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.

В мире править

  • Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения[6]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
  • Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

Тела в виде икосаэдра править

См. также править

Примечания править

  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16. Дата обращения: 3 сентября 2014. Архивировано 30 августа 2014 года.
  3. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. Архивировано 5 июня 2014 года. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  4. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 150—157.
  5. 1 2 3 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Icosahedron (англ.) (май 2007). Дата обращения: 3 сентября 2014. Архивировано 4 мая 2016 года.
  6. OpenGL Red Book Ch.2 Архивировано 8 января 2015 года.

Литература править

  • Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени / Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин. — М.: Наука, 1989. — 332 с. — ISBN 5020141976.