Открыть главное меню
Платоновы тела

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Содержание

ОпределениеПравить

Многогранник называется правильным, если:

  1. он выпуклый;
  2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
  3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранниковПравить

В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников[1] (упорядочены по числу граней):

Изображение Правильный многогранник Число вершин Число рёбер Число граней Число сторон у грани Число рёбер, примыкающих к вершине Тип пространственной симметрии
  Тетраэдр 4 6 4 3 3 Td
  Гексаэдр 8 12 6 4 3 Oh
  Октаэдр 6 12 8 3 4 Oh
  Додекаэдр 20 30 12 5 3 Ih
  Икосаэдр 12 30 20 3 5 Ih

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».

ИсторияПравить

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

Комбинаторные свойстваПравить

  • Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
  • Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
    p — число рёбер в каждой грани;
    q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Многогранник Вершины Рёбра Грани Символ Шлефли
тетраэдр   4 6 4 {3, 3}
гексаэдр (куб)   8 12 6 {4, 3}
октаэдр   6 12 8 {3, 4}
додекаэдр   20 30 12 {5, 3}
икосаэдр   12 30 20 {3, 5}
  • Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:
     
Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:
 

Геометрические свойстваПравить

УглыПравить

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

 

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

 

где   принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект   при любой вершине правильного многогранника:

 

По теореме Декарта, он равен   делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен  ).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

 

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (  стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа   — золотое сечение.

Многогранник Двугранный угол
θ
  Плоский угол между рёбрами при вершине Угловой дефект (δ) Телесный угол при вершине (Ω) Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр 70.53°   60°        
куб 90° 1 90°        
октаэдр 109.47° √2 60°, 90°        
додекаэдр 116.57°   108°        
икосаэдр 138.19°   60°, 108°        

Радиусы, площади и объёмыПравить

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

  • Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
  • Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
  • Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной ( ) и вписанной ( ) сфер задаются формулами:

 
 

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

 

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

 

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

 

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

 

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник
(a = 2)
Радиус вписанной сферы (r) Радиус срединной сферы (ρ) Радиус описанной сферы (R) Площадь поверхности (S) Объём (V)
тетраэдр          
куб          
октаэдр          
додекаэдр          
икосаэдр          

Константы φ и ξ задаются выражениями

 

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

В больших размерностяхПравить

           
  • Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр (гипероктаэдр) и n-мерный куб (гиперкуб).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101

СсылкиПравить