Открыть главное меню

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Пятиугольник
Regular pentagon 1.svg
Правильный пятиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 5
Символ Шлефли {5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D5)
Площадь
Внутренний угол 108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

СвойстваПравить

Построение правильного пятиугольника
 
  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
 ,
где   — радиус описанной окружности,   — радиус вписанной окружности,   — диагональ,   — сторона.
  • Высота правильного пятиугольника:
 
  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу  .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Сторона:
 
  • Радиус вписанной окружности:
 
  • Радиус описанной окружности:
 
  • Диагональ:
 
  • Площадь:
 
  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
 
где   — отношение золотого сечения.

ПостроениеПравить

 
Построение правильного пятиугольника
 
Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

 
Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

  1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
  2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
  3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
  4. Постройте точку C посередине между O и B.
  5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
  6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
  7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
  8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
  9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
 
Пятиугольный узел на полоске бумаги

Получение с помощью полоски бумагиПравить

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природеПравить

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.

Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

Интересные фактыПравить

 
Пентагон
  • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
  • Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
  • Пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией 4-симплекса.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить