Правильный семнадцатиугольник

Пра́вильный семнадцатиуго́льникгеометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с больши́м (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).

Семнадцатиугольник
Правильный семнадцатиугольник
Правильный семнадцатиугольник
Тип Правильный многоугольник
Рёбра 17
Символ Шлефли {17}
Диаграмма Коксетера — Дынкина CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png
Вид симметрии Диэдрическая группа (D18) порядок 2×18
Внутренний угол ≈158.82°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

СвойстваПравить

Центральный угол α равен  .

Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет

 

Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в монографии «Арифметические исследования» (1796 год). Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:

 
 

В этой же работе Гаусс доказал, что если нечётные простые делители числа n являются различными простыми Ферма (числа Ферма), то есть простыми числами вида   то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки (см. Теорема Гаусса — Ванцеля).

ФактыПравить

  • Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.

ПостроениеПравить

Точное построениеПравить

  1. Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
  2. Проводим её диаметр AB.
  3. Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
  4. Отмечаем точку E — середину DO.
  5. Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
  6. Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
  7. Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
  8. Восстанавливаем s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
  9. Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
  10. Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
  11. Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N. Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
  12. Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построениеПравить

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

  1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
  2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
  3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
  4. строим перпендикуляр к AB в точке F.
  • Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Анимированное построение ЭрхингераПравить

 
Построение семнадцатиугольника циркулем и линейкой в 64 шага по Йоханнесу Эрхингеру

Звёздчатые формыПравить

У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Karin Reich. Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). // В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101—118.
  • Weisstein, Eric W. Семнадцатиугольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.