Правильный 4294967295-угольник

Правильный 4294967295-угольник (че­ты̀­ре­мил­лиа̀р­да­двѐ­сти­де­вя­но̀­сто­че­ты̀­ре­мил­лио̀на­де­вять­со̀т­шесть­де­ся̀т­семь­ты̀­сяч­двух­со̀т­де­вя­но­сто­пя­тиу­го́ль­ник) — многоугольник с наибольшим нечётным числом сторон среди всех правильных многоугольников, о которых точно известно, что они допускают построение с помощью циркуля и линейки (всего на данный момент это установлено для $2^{5}-1=31$ правильного многоугольника с нечётным числом сторон).

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный $n$-угольник при нечётном $n$ можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда $n$ — простое число Ферма или же произведение нескольких различных таких чисел. В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма — $3,\,5,\,17,\,257,\,65537$; поэтому правильный многоугольник с числом сторон $3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=4294967295=2^{32}-1$ построить циркулем и линейкой можно, но вопрос, осуществимо ли это и для какого-то многоугольника с бо́льшим нечётным числом сторон, остаётся открытым.

Правильных многоугольников с чётным числом сторон, допускающих построение циркулем и линейкой, имеется бесконечно много, и число сторон у них может быть сколь угодно большим — поскольку, имея построенным правильный $n$-угольник, по нему всегда возможно построить и правильный $(2n)$-угольник.

Пропорции

Углы

Внутренний угол равен

${\frac {4294967295-2}{4294967295}}\cdot 180^{\circ }\approx 179{,}99999991618^{\circ }$.

Центральный угол равен

${\frac {360^{\circ }}{4294967295}}\approx 0{,}00000008382^{\circ }$.

Наглядное представление

Если описать правильный 4294967295-угольник около земного экватора (радиусом $r$), расстояния между соседними вершинами

$a=2r\cdot \mathrm {tg} \,{\frac {180^{\circ }}{4294967295}}$

будут составлять около 9,3 миллиметра.

Если же вписать его в орбиту Земли, то длина его стороны составит около 219 метров.