Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов , множество имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

Предаддитивную категорию иногда называют также -категорией[1].

ПримерыПравить

Аддитивные функторыПравить

Функтор   называется аддитивным, если каждое отображение   является гомоморфизмом абелевых групп.

Если   и   — категории, причём   предаддитивна, то категория функторов   также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если   тоже предаддитивна, то категория   аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если   предаддитивна, то категория   называется категорией модулей над  . Если   — предаддитивная категория из одного объекта — кольца  , это приводит к обычному определению (левых)  -модулей.

  — категория всех малых  -категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаиПравить

ПримечанияПравить

  1. Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

ЛитератураПравить

  • Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.