Предел (математика)

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции[1].

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

ИсторияПравить

Обоснование терминаПравить

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом[2]. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций[3].

Символ пределаПравить

Общепринятый символ предела   был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате:   это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла[4]. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства:  [5]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков[6].

Обозначения для одностороннего предела вида   первым предложил Дирихле (1837) в виде:   Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде:   и   соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения:   введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году[7].

Предел последовательностиПравить

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом порядкового номера.

Число   называется пределом последовательности  , если

 .

Предел последовательности обозначается  . Допускается обозначение  .[источник не указан 245 дней]

Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  •   
  •   (если оба предела существуют)
  •    
  •   (если оба предела существуют)
  •   (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если   и   , то   (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функцииПравить

 
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен  .

Функция   имеет предел   в точке  , если для всех значений  , достаточно близких к  , значение   близко к  .

Число b называется пределом функции   в точке  , если   существует  , такое что   выполняется  .

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например,   — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Понятие предела последовательности на языке окрестностейПравить

Пусть   — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности   (например, метрическое пространство). Пусть   — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что   есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки   лежат почти все члены последовательности, или  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Математическая энциклопедия, 1984, с. 556.
  2. Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.— Л., Гостехиздат, 1948. — С. 14
  3. Цыпкин А. Г. Справочник по математике. — М.: «Наука», 1983.
  4. Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.
  5. Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.
  6. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 133—135. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  7. Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint), §631—637. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.

ЛитератураПравить