Открыть главное меню

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Содержание

ИсторияПравить

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательностиПравить

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число   называется пределом последовательности   , если

    ,     ,    :  .

Предел последовательности обозначается  . Куда именно стремится  , можно не указывать, поскольку    , оно может стремиться только к  .

Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  •    
  •   (если оба предела существуют)
  •    
  •   (если оба предела существуют)
  •   (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если   и   , то   (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функцииПравить

 
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен  .

Функция   имеет предел   в точке  , если для всех значений  , достаточно близких к  , значение   близко к  .

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если   существует  , такое что   выполняется  .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например,  , если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательностиПравить

Пусть   — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности   (например, метрическое пространство). Пусть   — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что   есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки   лежат почти все члены последовательности то есть  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».