Предел (математика)

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции[1].

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

ИсторияПравить

Обоснование терминаПравить

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций[2].

Символ пределаПравить

Общепринятый символ предела   был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате:   это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла[3]. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства:  [4]. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков[5].

Обозначения для одностороннего предела вида   первым предложил Дирихле (1837) в виде:   Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде:   и   соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения:   введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году[6]..

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом[7].

Предел последовательностиПравить

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются ростом номера.

Число   называется пределом последовательности  , если

 .

Предел последовательности обозначается  . Допускается обозначение  .

Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  •    
  •   (если оба предела существуют)
  •    
  •   (если оба предела существуют)
  •   (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если   и   , то   (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функцииПравить

 
График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен  .
Основная статья: Предел функции

Функция   имеет предел   в точке  , если для всех значений  , достаточно близких к  , значение   близко к  .

Число b называется пределом функции   в точке  , если   существует  , такое что   выполняется  .

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например,   — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Понятие предела последовательности на языке окрестностейПравить

Пусть   — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности   (например, метрическое пространство). Пусть   — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что   есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки   лежат почти все члены последовательности, или  

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Математическая энциклопедия, 1984, с. 556.
  2. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике, 1983, Москва «Наука».
  3. Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М.: Научный мир, 2008. — 396 с. — ISBN 978-5-89176-485-9. — С. 172.
  4. Юшкевич А. П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 76.
  5. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 133—135. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  6. Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint), §631—637. — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
  7. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. - М.-Л., Гостехиздат, 1948. - с. 14

ЛитератураПравить