Предпорядок

Предпоря́док — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается тогда аксиомы предпорядка на множестве принимают вид:

,
.

Теория категорийПравить

В теории категорий с понятием предпорядка связывают обычно две категории: категорию предпорядков и категории, называемые предпорядками.

ПредпорядкиПравить

Категория   называется предпорядком, если для любых двух объектов   существует не более одного морфизма   Если   — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

 

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — это абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру.

  • Предпорядок — это скелетная категория.
  • Если малая категория   полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань.
  • Произведение набора (множества, класса и т. п.) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань.
  • Начальный объект   в предпорядке  , если он существует, — это его наименьший объект, так что  . Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

Категория предпорядковПравить

Категория предпорядков обозначается обычно   Объектами категории предпорядков являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Рассмотрим в   подкатегорию малых предпорядков  . Это конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором

 ,

сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в   Таким образом, аналогично  , начальным объектом в   является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.

Связанные определенияПравить

Линейный предпорядок — это предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:

 .

ЛитератураПравить

  • Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  • Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.