Открыть главное меню

Представление Гейзенберга

Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.

Содержание

Описание представления ГейзенбергаПравить

Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор  , а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства  . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:

 

где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.

Связь между операторами в представлении Шрёдингера и ГейзенбергаПравить

Пусть   - оператор в представлении Шрёдингера, а   - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:

 

где   - оператор эволюции:

 
 

где   - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то

 

и унитарное преобразование принимает вид:

 

Переход от представления Шрёдингера к представлению ГейзенбергаПравить

Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

 

где   - оператор Гамильтона.

Введем оператор эволюции  , который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:

 

Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:

 
 

где   - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

 

Теперь рассмотрим среднее значение оператора   некоторой наблюдаемой величины:

 

Таким образом, оператор   в представлении Гейзенберга определяется формулой:

 

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то

 

Продифференцируем формулу   по времени и используем уравнение  , тогда получим уравнение движения операторa   в Гейзенберговском представлении:

 

где частная производная обозначает явную зависимость оператора   от времени.

Пример. Квантовый гармонический осциллятор.Править

Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:

 

Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение   перепишется в виде

 
 
 
 

где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения  

ПрименениеПравить

Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. Квантовые поля. М.: Наука, 1980. Параграф 6. Представление Шредингера и Гейзенберга. стр.55-56.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
  • Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Глава VIII. Параграф 10. Представление Гейзенберга. стр.306-307.
  • Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц (Мир, 1989) (490с)Параграф 3.4. Гейзенберговская картина. стр.154-155.
  • Сербо В. Г., Хриплович И. Б. Квантовая механика: Учебное пособие. Новосибирский государственный университет, 2008. — 274 c. ISBN 978-5-94356-642-4

СсылкиПравить