Открыть главное меню

Представление группы

Представле́ние гру́ппы (точнее, линейное представление группы) — гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — заданная группа и   — векторное пространство. Тогда представление группы   — это отображение, ставящее в соответствие каждому элементу   невырожденное линейное преобразование   причем выполняются свойства

 

Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы   и знакопеременной группы   играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь, группы Лоренца).

Связанные определенияПравить

  • Пусть   есть представление группы  , здесь   — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства  . Размерностью представления   называется размерность векторного пространства  
  • Представления   и   одной и той же группы   называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм   векторных пространств, что   Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
  • Представление   называется прямой суммой представлений   если   (здесь знак   означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого   подпространство   инвариантно относительно преобразования   и индуцированное ограничением   на   представление   эквивалентно  

Типы представленийПравить

  • Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
  • Представление группы   называется приводимым, если в векторном пространстве   есть подпространство, отличное от нулевого и самого   инвариантное для всех преобразований     В противном случае представление называется неприводимым или простым (при этом представление на пространстве   не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
  • Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
  • Представление называется регулярным, если   — пространство функций на группе   и линейное преобразование   ставит в соответствие каждой функции   функцию  
  • Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве   над полем  , если все преобразования     являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве   (над полем  ) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы   унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве   произвольное эрмитово скалярное произведение   и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой  
  • Если   ― топологическая группа, то под представлением   обычно понимается непрерывное линейное представление группы   в топологическом векторном пространстве.

ПримерыПравить

  • Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
  • Представление симметрической группы   может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве   размерности   базис  . Для каждой перестановки   определим линейное преобразование   переводящее базисный вектор   в базисный вектор   где   Таким образом получается  -мерное представление группы  
  • Неприводимое двумерное представление группы   можно получить, выбрав в плоскости   базис   положив вектор   и определив для каждой перестановки   линейное преобразование  , переводящее   в   и   в  

Вариации и обобщенияПравить

В более широком смысле, под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества  . Например:

ЛитератураПравить

  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп, — Любое издание.
  • Винберг Э. Б. Линейные представления групп, — Любое издание.
  • Наймарк М. А. Теория представлений групп, — Любое издание.
  • Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп
  • Шейнман О. К. Основы теории представлений, — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.