Преобразование Гаусса

В математике, преобразование Гаусса или отображение Гаусса — (измеримая) динамическая система на отрезке [0, 1], заданная отображением

T\colon x\mapsto \{1/x\},

где $\{\cdot \}$ обозначает дробную часть числа^[1]. Исследованная в конце XVIII — начале XIX века Гауссом, это одна из первых одномерных динамических систем.

Это преобразование «стирает» первое неполное частное в разложении числа в цепную дробь:

T([0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ])=[0;a_{2},a_{3},\dots ].

Кроме того, оно обладает эргодической инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега:

\mu ={\frac {1}{\ln 2}}\cdot {\frac {dx}{1+x}},\quad T_{*}\mu =\mu .

Применение к этой мере эргодической теоремы Биркгофа — Хинчина влечёт существование постоянной Хинчина и утверждение о распределении элементов цепной дроби случайного числа $x\in [0,1]$ — статистика Гаусса — Кузьмина.

Примечания править

↑ Аникин и Голубенцев (2007), глава 3.

Литература править

Аникин В. М., Голубенцев А. Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса. — М.: Физматлит, 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-9221-0879-9.
В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 978-5-94057-441-5.
John Derwent and Eric W. Weisstein. Gauss Map (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] Аникин и Голубенцев (2007), глава 3.

[1]