Преобразование Меллина

Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина.

Определение

Прямое преобразование Меллина задаётся формулой:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx$.

Обратное преобразование — формулой:

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds$.

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина.

Связь с другими преобразованиями

Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$.

И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).$

Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой:

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)$.

Обратно:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)$.

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.

Примеры

Интеграл Каэна — Меллина

Если:

• $c>0,$
• $\Re (y)>0,$
• $y^{-s}$ на главной ветви,

то

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$,

где

$\Gamma (s)$ — гамма-функция.

Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen).

Преобразование Меллина для лебегова пространства

В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства $L^{2}(0,\infty )$ любая фундаментальная полоса включает в себя ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$. В связи с этим возможно задать линейный оператор ${\tilde {\mathcal {M}}}$ как:

${\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx$.

То есть:

$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)$.

Обычно этот оператор обозначается ${\mathcal {M}}$ и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение ${\tilde {\mathcal {M}}}$.

теоремы обратного преобразования Меллина показывает, что

${\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.$

Кроме того, этот оператор изометричен, то есть

$\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}$ для $\forall f\in L^{2}(0,\infty )$.

Это объясняет коэффициент ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$

Связь с теорией вероятностей

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин.

Если:

• $D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},$
• $a\leqslant 0\leqslant b,$
• $X$ — случайная величина,
• $X^{+}=\max\{X,0\},$
• $X^{-}=\max\{-X,0\},$

то преобразование Меллина определяется как:

${\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),$

где $i$ — мнимая единица.

Преобразование Меллина ${\mathcal {M}}_{X}(it)$ случайной величины $X$ однозначно определяет её функцию распределения $F_{x}$.

Применение

Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.

Литература

• Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions (англ.). — Marcel Dekker, Inc., 2004. — ISBN 0-8247-5402-6.
• Paris, R. B.; Kaminski, D. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals (неопр.). — Cambridge University Press, 2001.
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (неопр.). — Boca Raton: CRC Press, 1998. — ISBN 0-8493-2876-4.
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums (англ.) // Theoretical Computer Science. — 1995. — Vol. 144, no. 1—2. — P. 3—58.
• Tables of Integral Transforms Архивная копия от 30 июня 2007 на Wayback Machine at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Mellin transform", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Mellin Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums. Архивная копия от 24 мая 2006 на Wayback Machine
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico Архивная копия от 3 ноября 2012 на Wayback Machine, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Архивная копия от 29 января 2007 на Wayback Machine (in Spanish).
• Mellin Transform Methods Архивная копия от 11 апреля 2013 на Wayback Machine, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX Архивная копия от 14 сентября 2014 на Wayback Machine