Преобразование Меллина

Преобразование Меллинапреобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина.

ОпределениеПравить

Прямое преобразование Меллина задаётся формулой:

 .

Обратное преобразование — формулой:

 .

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина (англ.).

Связь с другими преобразованиямиПравить

Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина:

 .

И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:

 

Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой:

 .

Обратно:

 .

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.

ПримерыПравить

Интеграл Каэна — МеллинаПравить

Если:

то[1]

 ,
где
 гамма-функция.

Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen).

Преобразование Меллина для лебегова пространстваПравить

В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства   любая фундаментальная полоса включает в себя  . В связи с этим возможно задать линейный оператор   как:

 .

То есть:

 .

Обычно этот оператор обозначается   и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение  .

теоремы обратного преобразования Меллина (англ.) показывает, что

 

Кроме того, этот оператор изометричен, то есть

  для  .

Это объясняет коэффициент  

Связь с теорией вероятностейПравить

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин[2].

Если:

  •  
  •  
  •   — случайная величина,
  •  
  •  

то преобразование Меллина определяется как:

 
где  мнимая единица.

Преобразование Меллина   случайной величины   однозначно определяет её функцию распределения  .

ПрименениеПравить

Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.

ПримечанияПравить

  1. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes (англ.) // Acta Mathematica : journal. — 1916. — Vol. 41, no. 1. — P. 119—196. — doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.)
  2. Galambos, Simonelli, 2004, стр. 15

ЛитератураПравить

СсылкиПравить