Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
Преобразование Фурье | |
---|---|
![]() | |
Краткое имя или название | FT |
Названо в честь | Жан-Батист Жозеф Фурье |
Определяющая формула | [1] |
Обозначение в формуле | , , и |
Обратно к | обратное преобразование Фурье[вд] |
![]() |
Определение
правитьВ математике преобразование Фурье функции f, зависящей от одной вещественной переменной, является интегральным и задаётся следующей формулой[2]:
где — мнимая единица.
Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:
Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний с частотами , амплитудами и фазовыми сдвигами соответственно.
В радиотехнике (обработке сигналов) преобразование Фурье задаётся без множителя [3]:
Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:
Свойства
правитьХотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
- Преобразование Фурье является линейным оператором:
- Справедливо равенство Парсеваля: если , то преобразование Фурье сохраняет -норму:
при наличии множителя в преобразовании Фурье:
при отсутствии множителя в преобразовании Фурье:
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство .
Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех .
- Теорема о свёртке: если , тогда
при наличии множителя в преобразовании Фурье:
- ,
при отсутствии множителя в преобразовании Фурье:
- ,
где
- — свертка функций и .
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и дифференцирование. Если , то
Из этой формулы легко выводится формула для -й производной:
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и сдвиг.
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
- Преобразование Фурье и растяжение.
- Формула суммирования Пуассона для принятого в данной статье определения:
при наличии множителя в преобразовании Фурье:
при отсутствии множителя в преобразовании Фурье:
- Данные формулы могут быть получены из классической формулы суммирования Пуассона[англ.], которая задана для другой формы определения преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь определим его двойственное пространство . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции её преобразованием Фурье называется обобщённая функция , действующая на основные функции по правилу
Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции (при наличии множителя в преобразовании Фурье):
Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа .
Принцип неопределённости
правитьРассмотрим сигнал , для которого преобразование Фурье имеет вид: .
Перейдя от частоты к частоте получим: .
Чем больше концентрация сигнала во временной области, тем более размазанным должен быть модуль его преобразования Фурье . В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в t раз, то её преобразование Фурье растягивается в f раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.
Предположим, что — квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма или энергия сигнала выражается как[4]:
- .
Среднее значение для распределения энергии сигнала по времени имеет вид[4]:
- .
В качестве меры длительности сигнала можно использовать удвоенную величину среднеквадратичной длительности , называемую эффективной длительностью сигнала, где
- .
В терминах теории вероятности — это центральный второй момент функции .
Среднее значение для распределения энергии сигнала в частотной области имеет вид:
- ,
так как подынтегральная функция нечётна.
В качестве меры локализации сигнала в частотной области можно использовать величину , называемую эффективной шириной полосы частот сигнала, где
- .
В терминах теории вероятности — это центральный второй момент функции [4].
Принцип неопределённости гласит, что для дифференцируемых вещественных сигналов с энергией , для которых интеграл сходится (то есть ) и , произведение эффективной длительности сигнала и эффективной ширины полосы частот сигнала ограничено снизу[4]:
- ,
Равенство достигается только в случае гауссова импульса , где и некоторые константы ( )[4].
В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.
Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:
где — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности :
- ,
Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.
Применения
правитьПреобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
- Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля).
- Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
- Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические.
- По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов.
- Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Разновидности
правитьМногомерное преобразование
правитьПреобразование Фурье функций, заданных на пространстве , определяется формулой[5]:
Здесь и — векторы пространства , — их скалярное произведение.
Обратное преобразование Фурье в этом случае задаётся формулой
- .
Эти формулы также можно записать в виде[6]:
Как и в одномерном случае, множитель в преобразовании Фурье может отсутствовать. Тогда множитель в обратном преобразовании Фурье будет равен [6].
Формула для преобразования Фурье в многомерном случае может быть интерпретирована как разложение функции в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида с амплитудами , частотами и фазовыми сдвигами соответственно.
Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:
- Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:
- Изменяется константа в теореме о свёртке:
- Преобразование Фурье и сжатие координат:
- Более общо, если — обратимое линейное отображение, то
Ряды Фурье
правитьНепрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:
Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.
Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой -периодической функции имеем
Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.
Дискретное преобразование
правитьДискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.
Пусть — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен . Выберем какие-нибудь точек на комплексной плоскости . Теперь многочлену мы можем сопоставить новый набор из чисел: . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел существует единственный многочлен степени не выше с такими значениями в соответственно (см. Интерполяция).
Набор и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора . В качестве точек обычно выбирают корни -й степени из единицы:
- .
Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины напрямую требует порядка операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка операций.
Оконное преобразование
правитьгде даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала в окрестности момента времени .
Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию , причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.
На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.
Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.
Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.
Другие варианты
правитьДискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.
Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.
Интерпретация в терминах времени и частоты
правитьВ терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.
Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции пропорциональна амплитудам соответствующих частот , в то время как фазовые сдвиги являются аргументами этой комплексной функции.
Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.
Примеры формул
правитьСледующая таблица содержит список формул для преобразования Фурье. и обозначают Фурье компоненты функций и , соответственно. и должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.
Функция | Образ с множителем | Образ с множителем | Примечания | |
---|---|---|---|---|
1 | Линейность | |||
2 | Запаздывание | |||
3 | Частотный сдвиг | |||
4 | Если большое, то сосредоточена около нуля, и становится плоским | |||
5 | Свойство преобразования Фурье от -й производной | |||
6 | Свойство преобразования Фурье от интеграла | |||
7 | Это обращение правила 5 | |||
8 | Запись означает свёртку и : . Это правило — теорема о свёртке | |||
9 | Это обращение 8 | |||
10 | означает дельта-функцию Дирака | |||
11 | Обращение 10. | |||
12 | Здесь — натуральное число, — -я производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 7 и 11. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов | |||
13 | Следствие 3 и 11 | |||
14 | Следствие 1 и 13 с использованием формулы Эйлера | |||
15 | Также из 1 и 13 | |||
16 | Показывает, что функция Гаусса совпадает со своим изображением | |||
17 | Прямоугольная функция — передаточная характеристика идеального фильтра нижних частот, а функция sinc(x) — его импульсная характеристика | |||
18 | Здесь — функция sgn. Это правило согласуется с 7 и 11 | |||
19 | Обобщение 18 | |||
20 | Обращение 17 | |||
21 | Здесь — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 20 |
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 2-19.1 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — Международная организация по стандартизации, 2019. — 36 с.
- ↑ Математический энциклопедический словарь, 1988. — C. 618.
- ↑ Roland Priemer. Introductory Signal Processing, 1991. — P. 164—165.
- ↑ 1 2 3 4 5 Умняшкин С. В. Основы теории цифровой обработки сигналов, 2019. — C. 45—48.
- ↑ Математическая энциклопедия. 1985, Том 5. — С. 719.
- ↑ 1 2 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 2004. — C. 452—453.
Литература
править- Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
- Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
- Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
- Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
- М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.
Ссылки
править- Интегральные преобразования. Архивная копия от 11 июля 2007 на Wayback Machine EqWorld: Мир математических уравнений
- Online Computation of the transform or inverse transform
- Преобразование Фурье. Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained. Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
- Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989. — C. 48—56. Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine