Преобразование Фурье

Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье
Краткое имя или название	FT
Названо в честь	Жан-Батист Жозеф Фурье
Определяющая формула	${\mathcal {F}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t$
Обозначение в формуле	${\mathcal {F}}$, $f$, $t$ и $\omega$
Обратно к	обратное преобразование Фурье
Медиафайлы на Викискладе

Определение

В математике преобразование Фурье функции f, зависящей от одной вещественной переменной, является интегральным и задаётся следующей формулой:

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx,$

где $i$ — мнимая единица.

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega x}\,d\omega$

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний $e^{i\omega x}$ с частотами $\omega$, амплитудами ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}|{\hat {f}}(\omega )|$ и фазовыми сдвигами $\arg {\hat {f}}(\omega )$ соответственно.

В радиотехнике (обработке сигналов) преобразование Фурье задаётся без множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$:

${\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx.$

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega x}\,d\omega$

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса $L_{1}(\mathbb {R} )$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

${\widehat {(\alpha f+\beta g)}}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.$

• Справедливо равенство Парсеваля: если $f\in L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )$, то преобразование Фурье сохраняет $L_{2}$-норму:

при наличии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .$

при отсутствии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,d\omega .$

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство $L_{2}(\mathbb {R} )$.

Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех $f\in L_{2}(\mathbb {R} )$.

• Теорема о свёртке: если $f,\;g\in L_{1}(\mathbb {R} )$, тогда

при наличии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье:

${\widehat {(f\ast g)}}={\sqrt {2\pi }}{\widehat {f}}{\widehat {g}}$,

при отсутствии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье:

${\widehat {(f\ast g)}}={\widehat {f}}{\widehat {g}}$,

где

$f\ast g=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s)g(t-s)\,ds$ — свертка функций $f$ и $g$.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если $f,\;f'\in L_{1}(\mathbb {R} )$, то

${\widehat {(f')}}=i\omega {\widehat {f}}.$

Из этой формулы легко выводится формула для $n$-й производной:

${\widehat {(f^{(n)})}}=(i\omega )^{n}{\widehat {f}}.$

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

${\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(\omega ).$

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией $\delta (x-x_{0})$, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

${\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(\omega /a).$

• Формула суммирования Пуассона для принятого в данной статье определения:

при наличии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье:

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(2\pi n)$

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}\left(k\right)={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f\left(2\pi n\right)$

при отсутствии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье:

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(k)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(2\pi n)$

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}\left(k\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f\left(2\pi n\right)$

Данные формулы могут быть получены из классической формулы суммирования Пуассона, которая задана для другой формы определения преобразования Фурье.

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

$S(\mathbb {R} ):=\left\{\varphi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ):\forall n,\;m\in \mathbb {N} \;x^{n}\varphi ^{(m)}(x){\xrightarrow {x\to \infty }}0\right\}.$

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство $S^{*}(\mathbb {R} )$. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции $f\in S^{*}(\mathbb {R} )$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция ${\hat {f}}\in S^{*}(\mathbb {R} )$, действующая на основные функции по правилу

$\langle {\hat {f}},\;\varphi \rangle =\langle f,\;{\hat {\varphi }}\rangle .$

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции (при наличии множителя ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ в преобразовании Фурье):

$\langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .$

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$.

Принцип неопределённости

Рассмотрим сигнал $x(t)$, для которого преобразование Фурье имеет вид: $F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}dt$.

Перейдя от частоты $\omega =2\pi f$ к частоте $f$ получим: $F(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt$.

Чем больше концентрация сигнала $x(t)$ во временной области, тем более размазанным должен быть модуль его преобразования Фурье $|F(f)|$. В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в t раз, то её преобразование Фурье растягивается в f раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Предположим, что $f(t)$ — квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма или энергия сигнала выражается как:

$E=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f^{2}(t)dt$.

Среднее значение для распределения энергии сигнала по времени имеет вид:

$t_{0}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }tf^{2}(t)dt$.

В качестве меры длительности сигнала можно использовать удвоенную величину среднеквадратичной длительности $\Delta t=2{\sqrt {D_{t}}}$, называемую эффективной длительностью сигнала, где

$D_{t}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(t-t_{0})^{2}f^{2}(t)dt$.

В терминах теории вероятности $D_{t}$ — это центральный второй момент функции $f(t)$.

Среднее значение для распределения энергии сигнала в частотной области имеет вид:

$F_{0}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f|F(f)|^{2}df=0$,

так как подынтегральная функция нечётна.

В качестве меры локализации сигнала в частотной области можно использовать величину $\Delta f=2{\sqrt {D_{f}}}$, называемую эффективной шириной полосы частот сигнала, где

$D_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(f-F_{0})^{2}|F(f)|^{2}df=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f^{2}|F(f)|^{2}df$.

В терминах теории вероятности $D_{f}$ — это центральный второй момент функции $|F(f)|$.

Принцип неопределённости гласит, что для дифференцируемых вещественных сигналов $x(t)$ с энергией $E$, для которых интеграл $t_{0}$ сходится (то есть $t_{0}<\infty$) и $\lim _{t\to \pm \infty }tf^{2}(t)=0$, произведение эффективной длительности сигнала $\Delta t$ и эффективной ширины полосы частот сигнала $\Delta f$ ограничено снизу:

$\Delta t\Delta f\geq {\frac {E}{\pi }}$,

Равенство $\Delta t\Delta f={\frac {E}{\pi }}$ достигается только в случае гауссова импульса $f(t)=Ce^{-kt^{2}}$, где $k$ и $C$ некоторые константы ($k>0$).

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:

$H\left(\left|x\right|^{2}\right)+H\left(\left|F\right|^{2}\right)\geq \ln \left({\frac {e}{2}}\right)$

где $H(p)$ — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности $p(z)$:

$H(p)=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }p(z)\ln {\bigl (}p(z){\bigr )}dz$,

Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические.
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Разновидности

Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, определяется формулой:

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx$

Здесь $\omega$ и $x$ — векторы пространства $\mathbb {R} ^{n}$, $x\cdot \omega$ — их скалярное произведение.

Обратное преобразование Фурье в этом случае задаётся формулой

$f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{ix\cdot \omega }\,d\omega$.

Эти формулы также можно записать в виде:

${\hat {f}}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\!\ldots \!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},\ldots ,x_{n})e^{-i(x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n})}dx_{1}\ldots dx_{n},$

$f(x_{1},\ldots ,dx_{n})={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\!\ldots \!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})e^{i(x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n})}d\omega _{1}\ldots d\omega _{n}.$

Как и в одномерном случае, множитель ${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}$ в преобразовании Фурье может отсутствовать. Тогда множитель в обратном преобразовании Фурье будет равен ${\frac {1}{(2\pi )^{n}}}$.

Формула для преобразования Фурье в многомерном случае может быть интерпретирована как разложение функции $f$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида $e^{ix\cdot \omega }$ с амплитудами ${\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}|{\hat {f}}(\omega )|$, частотами $\omega$ и фазовыми сдвигами $\arg {\hat {f}}(\omega )$ соответственно.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

${\widehat {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}}=i\omega _{k}{\hat {f}}(\omega ).$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

${\widehat {(f\ast g)}}=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}{\hat {g}}.$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

${\widehat {\left(f\left({\frac {x}{|a|}}\right)\right)}}=|a|^{n}{\hat {f}}(\omega |a|).$

• Более общо, если $A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ — обратимое линейное отображение, то

${\widehat {\left(f(Ax)\right)}}=|\det(A)|^{-1}{\hat {f}}((A^{T})^{-1}\omega ).$

Ряды Фурье

Основная статья: Ряд Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для $2\pi$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\,e^{inx}.$

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой $2\pi$-периодической функции имеем

${\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\delta (\omega -n).$

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование

Основная статья: Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть $x_{0},\;x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен $f(t)=x_{0}+x_{1}t+x_{2}t^{2}+\ldots +x_{n-1}t^{n-1}$. Выберем какие-нибудь $n$ точек на комплексной плоскости $z_{0},\;z_{1},\;\ldots ,\;z_{n-1}$. Теперь многочлену $f(t)$ мы можем сопоставить новый набор из $n$ чисел: $f_{0}:=f(z_{0}),\;f_{1}:=f(z_{1}),\;\ldots ,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел $f_{0},\;f_{1},\;\ldots ,\;f_{n-1}$ существует единственный многочлен $f(t)$ степени не выше $n-1$ с такими значениями в $z_{0},\;\ldots ,\;z_{n-1}$ соответственно (см. Интерполяция).

Набор $\{f_{k}\}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора $\{x_{k}\}$. В качестве точек $z_{k}$ обычно выбирают корни $n$-й степени из единицы:

$z_{k}=e^{\frac {2\pi ik}{n}}$.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины $n$ напрямую требует порядка $n^{2}$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за $O(n\log n)$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка $n$ операций.

Оконное преобразование

Основная статья: Оконное преобразование Фурье

$F(t,\;\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }\,d\tau ,$

где $F(t,\;\omega )$ даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала $f(t)$ в окрестности момента времени $t$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию $W$, причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором $x_{k}$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где $\omega$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция $f$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции $F(\omega )$ пропорциональна амплитудам соответствующих частот $\omega$, в то время как фазовые сдвиги являются аргументами этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Примеры формул

Следующая таблица содержит список формул для преобразования Фурье. $F(\omega )$ и $G(\omega )$ обозначают Фурье компоненты функций $f(t)$ и $g(t)$, соответственно. $f$ и $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

	Функция	Образ с множителем ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	Образ с множителем $1$	Примечания
	$f(x)$	$F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }dx$	$F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }dx$
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Линейность
2	$f(t-a)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Запаздывание
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega -a)$	$F(\omega -a)$	Частотный сдвиг
4	$f(at)$	$|a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	$|a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	Если $a$ большое, то $f(at)$ сосредоточена около нуля, и $|a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$ становится плоским
5	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$	Свойство преобразования Фурье от $n$-й производной
6	$\int \limits _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}F(0)\delta (\omega )+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}i\omega }}F(\omega )$	$\pi F(0)\delta (\omega )+{\frac {1}{i\omega }}F(\omega )$	Свойство преобразования Фурье от интеграла
7	$t^{n}f(t)$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	Это обращение правила 5
8	$f(t)*g(t)$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	$F(\omega )G(\omega )$	Запись $f*g$ означает свёртку $f$ и $g$: $f(t)*g(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$. Это правило — теорема о свёртке
9	$f(t)g(t)$	${\frac {F(\omega )*G(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}$	${\frac {F(\omega )*G(\omega )}{2\pi }}$	Это обращение 8
10	$\delta (t)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	$1$	$\delta (t)$ означает дельта-функцию Дирака
11	$1$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$	$2\pi \delta (\omega )$	Обращение 10.
12	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$i^{n}2\pi \delta ^{(n)}(\omega )$	Здесь $n$ — натуральное число, $\delta ^{(n)}(\omega )$ — $n$-я производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 7 и 11. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
13	$e^{iat}$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\omega -a)$	Следствие 3 и 11
14	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\pi (\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a))$	Следствие 1 и 13 с использованием формулы Эйлера $\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$
15	$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	$-i\pi (\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a))$	Также из 1 и 13
16	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Показывает, что функция Гаусса $\exp(-t^{2}/2)$ совпадает со своим изображением
17	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$	Прямоугольная функция — передаточная характеристика идеального фильтра нижних частот, а функция sinc(x) — его импульсная характеристика
18	${\frac {1}{t}}$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\omega )$	Здесь $\operatorname {sgn}(\omega )$ — функция sgn. Это правило согласуется с 7 и 11
19	${\frac {1}{t^{n}}}$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	Обобщение 18
20	$\operatorname {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}$	${\frac {2}{i\omega }}$	Обращение 17
21	$\theta (t)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}({\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega ))$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	Здесь $\theta (t)$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 20

См. также

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1.

Ссылки

• Интегральные преобразования. Архивная копия от 11 июля 2007 на Wayback Machine EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform
• Преобразование Фурье. Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained. Архивная копия от 4 июля 2015 на Wayback Machine (англ.)
• Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989. — C. 48—56. Архивная копия от 24 мая 2017 на Wayback Machine