Преобразование Хаусхолдера

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование $H_{u}$ векторного пространства $V$, которое описывает его отражение относительно гиперплоскости, проходящей через начало координат.

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы.

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором $u$, который ортогонален ей, а $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — скалярное произведение в $V$, тогда

$H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u$

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

$H=I-2uu^{\dagger }.$

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

• Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: $H=H^{\dagger }.$
• Матрица Хаусхолдера является унитарной: $H^{\dagger }H=I.$
• Матрица Хаусхолдера является инволюцией: $H^{2}=I$.
• Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение, равное $-1$, которое соответствует собственному вектору $u$, все другие собственные значения равны $1$.
• Определитель матрицы Хаусхолдера равен $-1$.

Литература

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947

Ссылки

• http://www.tdoc.ru/c/programming/programming-theory/matrix-vectors-values-page8.html Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• https://web.archive.org/web/20070609042513/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HouseholderMod.html