Призма (геометрия)

Призма (от др.-греч. πρίσμα (лат. prisma) «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Множество однородных призм
Шестиугольная призма
Шестиугольная призма
Тип

Однородный многогранник[en]

Грани

Всего - 2+n2{n}
n {4}

Рёбра

3n

Вершины

2n

Конфигурация вершины

4.4.n

Символ Шлефли

{n}×{} or t{2, n}

Диаграмма Коксетера — Дынкина

CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png

Вид симметрии

Dnh[en], [n,2], (*n22), порядок 4n

Двойственный многогранник

Бипирамида

Свойства

вершинно транзитивный
выпуклый многогранник

Развёртка

Generalized prisim net.svg

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Содержание

Виды призмПравить

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1]. Другие призмы называются наклонными.
Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — прямоугольники.
Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
 
Усечённая треугольная призма

Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников, другую последовательность образуют антипризмы

Усечённая призма — это призма с непараллельными основаниями[2].

Элементы призмыПравить

Название Определение Обозначения на чертеже Чертеж
Основания Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях.  ,  
Боковые грани Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.  ,  ,  ,  ,  
Боковая поверхность Объединение боковых граней.
Полная поверхность Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра Общие стороны боковых граней.  ,  ,  ,  ,  
Высота Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.  
Диагональ


Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.  
Диагональная плоскость Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.  
Диагональное сечение Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.  
Перпендикулярное (ортогональное) сечение Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмыПравить

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
 
  • Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
  (здесь s — длина стороны многоугольника).
  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы  , где  периметр перпендикулярного сечения,   — длина бокового ребра.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы  , где   — периметр основания призмы,   — высота призмы.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным n-угольным основанием равна
 
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Диаграммы ШлегеляПравить

 
Треугольная
призма
 
4-угольная
призма
 
5-угольная
призма
 
6-угольная
призма
 
7-угольная
призма
 
8-угольная
призма

СимметрияПравить

Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.

Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Призматические многогранникиПравить

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём n-мерный многогранник с элементами   (i-мерная грань, i = 0, ..., n). Призматический ( )-мерный многогранник будет иметь   элементов размерности i (при  ,  ).

По размерностям:

  • Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и   гранями.
  • Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами,   рёбрами,   гранями и   ячейками.
  • Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами,   рёбрами,   (2-мерными) гранями,   ячейками и   гиперячейками.

Однородные призматические многогранникиПравить

Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.

По размерностям:

  • Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
  • Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
    •  Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
  • многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {pq} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {pq}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
  • ...

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Семейство правильных призм
Многоугольник                      
Мозаика                
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ∞.4.4

Скрученная призмаПравить

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол   радиан (  градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Наименьший случай называется многогранником Шёнхардта.

Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная Четырёхугольные 12-угольная
 
Многогранник Шёнхардта
 
Скрученная квадратная призма
 
Квадратная антипризма
 
Скрученная двенадцатиугольная призма

Связанные многогранники и мозаикиПравить

Семейство правильных призм
Многоугольник                      
Мозаика                
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ∞.4.4
Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол  
Диагональный купол
 
Трёхскатный купол
 
Четырёхскатный купол
 
Пятискатный купол[en]
 
Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
     
Кубооктаэдр
     
Ромбокубо-
октаэдр

     
Ромбоикосо-
додекаэдр

     
Ромботри-
шестиугольная
мозаика
[en]

     

СимметрииПравить

Призмы тологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[en].

Соединение многогранниковПравить

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

Соединение четырёх треугольных призм[en], соединение восьми треугольных призм[en], соединение десяти треугольных призм[en], соединение двенадцати треугольных призм[en].

СотыПравить

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:

Гироудлинённые альтернированные кубические соты[en], удлинённые альтернированные кубические соты[en], повёрнутые треугольные призматические соты, плосконосые квадратные призматические соты[en], треугольные призматические соты, треугольно-шестиугольные призматические соты, усечённые шестиугольные призматические соты, ромботришестиугольные призматические соты, плосконосые шестиугольные призматические соты, удлинённые треугольные призматические соты

Связанные многогранникиПравить

Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник[en] содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.

Четырёхмерное пространствоПравить

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[en], включая:

тетраэдральная призма[en]
       
октаэдральная призма[en]
       
кубооктаэдральная призма[en]
       
икосаэдральная призма[en]
       
икосододекаэдральная призма[en]
       
усечённая додекаэдральная призма[en]
       
           
ромбоикоси-
додекаэдральная призма
[en]

       
ромбокуб-
октаэдральная призма
[en]

       
усечённая кубическая призма[en]
       
плосконосая додекаэдральная призма[en]
       
n-угольная антипризматическая призма[en]
       
         
скошенный 5-ячейник[en]
       
скошено-усечённый 5-ячейник[en]
       
обструганный 5-ячейник[en]
       
струг-усечённый 5-ячейник[en]
       
скошенный тессеракт[en]
       
скошено-усечённый тессеракт[en]
       
обструганный тессеракт[en]
       
струг-усечённый тессеракт[en]
       
               
скошенный 24-ячейник[en]
       
скошено-усечённый 24-ячейник[en]
       
обструганный 24-ячейник[en]
       
струг-усечённый 24-ячейник[en]
       
скошенный 120-ячейник[en]
       
скошено-усечённый 120-ячейник[en]
       
обструганный 120-ячейник[en]
       
струг-усечённый 120-ячейник[en]
       
               

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

СсылкиПравить