Признак Жамэ

Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Виктором Жамэ.

Формулировка

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится, если при $n>N$ выполняется неравенство:

$J_{n}={\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\geqslant 1+\delta ,$

где $\delta >0$.

Если же $J_{n}\leqslant 1$, при $n>N$, то ряд расходится.

Доказательство

1. Пусть для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ выполняется условие:

${\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1$.

Преобразуем это неравенство к виду:

$0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}$.

Поскольку всегда можно найти достаточно большое $n>N$ такое, что:

$1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0$,

то можно перейти к выражению:

$0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)\right)$.

Применив разложение функции $\ln(1-x)$ в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)$

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)$

Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции $e^{x}$:

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^{\delta +1}}}\right)$

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что $\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}\geqslant 0$, получаем:

$0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}$

Последнее, согласно признаку сравнения, означает, что рассматриваемый ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ сходится и расходится одновременно с рядом $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\delta }}}$ (ряд Дирихле), который сходится при $\delta >1$ и расходится при $\delta \leqslant 1$.

2. Пусть для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ выполняется условие:

${\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1$

Преобразуем это неравенство к виду:

$a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)\right)$.

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

$a_{n}\geqslant {\frac {1}{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac {1}{n}}\right)$

То есть согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится, поскольку расходится ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ (гармонический ряд). ■

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

$J=\lim _{n\to \infty }J_{n}$

то при $J>1$ ряд сходится, а при $J<1$ — расходится.

Обобщение

Пусть на $\mathbb {N}$ заданы три положительно определённые функции: $\varphi (n),g(n),f(n)$, причём $\varphi (n)$ и $f(n)$ являются неограниченно возрастающими, и для них выполняются условия:

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {\varphi (n)g(n)}{f(n)\ln n}}=q$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {g(n)}{f(n)}}=0$.

Тогда, если для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, при $n>N$ выполняется неравенство:

$\left(1-a_{n}^{\frac {1}{\varphi (n)}}\right){\frac {f(n)}{g(n)}}\geqslant p>{\frac {1}{q}}$, то ряд сходится.

Если же для ряда $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, при $n>N$ выполняется неравенство:

$\left(1-a_{n}^{\frac {1}{\varphi (n)}}\right){\frac {f(n)}{g(n)}}\leqslant p<{\frac {1}{q}}$, то ряд расходится.

Литература

• Б. П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу, с. 254.