Признак сходимости

В математике Признак сходимости числового ряда —- это метод, позволяющий установить сходимость или расходимость бесконечного ряда:

Краткая запись:

Здесь последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Необходимое условие сходимости рядовПравить

Если с ростом   предел члена ряда   не существует или не равен нулю, то ряд расходится[1].

Следовательно, условие   необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимостиПравить

Ряды с неотрицательными членамиПравить

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительными[2] или просто положительными[3].

Критерий сходимости знакоположительных рядовПравить

Знакоположительный ряд   сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм   ограничена сверху[4].

Признак сравнения с мажорантойПравить

Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известно[4].

Пусть даны два знакоположительных ряда:   и  . Если, начиная с некоторого номера ( ), выполняется неравенство:  , то[5]:

  • из сходимости ряда   следует сходимость ряда  ;
  • из расходимости ряда   следует расходимость и ряда .

Следствие для рядов с членами произвольного знака:

Если ряд   абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все  , то и ряд   сходится абсолютно.

Пример[6]. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

 

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

 

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

 

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале  .

Признак РаабеПравить

Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши[7].

Если для ряда   существует предел:

 

то при   ряд сходится, а при   — расходится. Если  , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[8].

Интегральный признак Коши — МаклоренаПравить

Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.

Пусть функция   определена при  , неотрицательна, монотонно убывает и  .

Тогда ряд   и несобственный интеграл:

 

сходятся или расходятся одновременно[9].

Пример[10]. Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

 

Для него порождающая функция имеет вид:  . Вычислим интеграл:

  если  , или   если   Вывод: данный ряд сходится при   и расходится при  .

Признак ГауссаПравить

Пусть для знакоположительного ряда   отношение   может быть представлено в виде:

 

где   — постоянные, а последовательность   ограничена. Тогда[11]:

  • ряд сходится, если либо   либо  
  • ряд расходится, если либо   либо  

Признак КуммераПравить

Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков[12].

Пусть даны знакоположительный ряд   и последовательность положительных чисел   такая, что ряд   расходится.

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство:

 

где  .— положительная постоянная, то ряд   сходится.

Если же, начиная с некоторого номера,   то ряд расходится.

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим   тогда в случае   ряд сходится, а при   — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

Знакопеременные рядыПравить

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак ДаламбераПравить

Этот признак также известен как критерий Даламбера. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов[13].

Если существует   то:

  • если   то ряд абсолютно сходится;
  • если   то ряд расходится;
  • если  , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Пример[14]. Исследуем сходимость ряда   где   Вычислим предел:

 

Следовательно, ряд сходится при   и расходится при   Случай   следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают ( , поэтому  ) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак КошиПравить

Если существует   то:

  • если   то ряд сходится, причём абсолютно;
  • если   то ряд расходится;
  • если  , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[15].

Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно[16].

Пример[17]. Исследуем ряд   где   — последовательность положительных чисел, причём  

 

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

  • Если   то при   ряд сходится, при   — расходится, при   определённый вывод сделать нельзя.
  • Если   то ряд расходится.
  • Если   ряд сходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядовПравить

Этот признак также называют критерий Лейбница.

Пусть для знакочередующегося ряда:

 , где  ,

выполняются следующие условия:

  • последовательность   начиная с некоторого номера ( ) монотонно убывает:  ;
  •  

Тогда такой ряд сходится[18].

Признак АбеляПравить

Числовой ряд   сходится, если выполнены следующие условия[19]:

  • Последовательность   монотонна и ограничена.
  • Ряд   сходится.

Признак ДирихлеПравить

Пусть выполнены условия:

  • последовательность частичных сумм   ограничена;
  • последовательность  , начиная с некоторого номера, монотонно убывает:  ;
  •  .

Тогда ряд   сходится.

Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего[19].

Признак БертранаПравить

Если для ряда   существует предел:

 

то при   ряд сходится, а при   — расходится. Если  , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда[11].

Вариации и обобщенияПравить

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема. Пусть   — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение   сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд  .

Также аналогично, если  , то   имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд   сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение[20].

ПримечанияПравить

  1. Фихтенгольц, 1966, с. 293—294.
  2. Матвеева и др..
  3. Фихтенгольц, 1966, с. 262.
  4. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 264—266.
  5. Воробьёв, 1979, с. 51—52.
  6. Воробьёв, 1979, с. 52.
  7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 137. — 720 с.
  8. Фихтенгольц, 1966, с. 273—274.
  9. Фихтенгольц, 1966, с. 282—285.
  10. Воробьёв, 1979, с. 61.
  11. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 279.
  12. Фихтенгольц, 1966, с. 277—279.
  13. Фихтенгольц, 1966, с. 271—272, 275.
  14. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 274. — 544 с.
  15. Фихтенгольц, 1966, с. 270—271.
  16. Фихтенгольц, 1966, с. 272, 275 (примеры 3, 4).
  17. Фихтенгольц, 1966, с. 274 (пример 1).
  18. Фихтенгольц, 1966, с. 302—303.
  19. 1 2 Фихтенгольц, 1966, с. 307—308.
  20. Belk. Convergence of Infinite Products (26 January 2008).

ЛитератураПравить

  • Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.

СсылкиПравить