Принцип равномерной ограниченности

Принцип равномерной ограниченности или Теорема Банаха — Штейнгауза — фундаментальный результат функционального анализа. Теорема утверждает, что поточечная и равномерная ограниченности эквивалентны для семейств непрерывных линейных операторов, заданных на Банаховом пространстве.

История

Теорема была доказана Банахом и Штейнгаузом и независимо Хансом Ханом.

Формулировка

Пусть $X$ — Банахово пространство, $Y$ — нормированное векторное пространство, $F$ — семейство линейных непрерывных операторов из $X$ в $Y$. Предположим, что для любого $x\in X$ выполняется

$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .$

Тогда

$\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}<\infty .$

Следствия

Если последовательность ограниченных операторов на банаховом пространстве сходится поточечно, то её поточечный предел является ограниченным оператором.

Вариации и обобщения

• Бочечное пространство — наиболее общий тип пространств в которых выполняется принцип равномерной ограниченности.

• Принцип ограниченности выполняется для семейств отображений из $X$ в $Y,$ если $X$ является пространством Бэра и $Y$ — локально выпуклое пространство.

Список литературы

• Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927), "Sur le principe de la condensation de singularités" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50—61 (фр.)
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press.
• Rudin, Walter (1966), Real and complex analysis, McGraw-Hill.
• Shtern, A.I. (2001), "Banach–Steinhaus theorem", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Sokal, Alan (2011), "A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem", Amer. Math. Monthly, 118: 450—452, arXiv:1005.1585, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.