Присоединённое представление группы Ли

Присоединённое представление группы Лилинейное представление группы Ли на своей алгебре Ли. Обычно обозначается .

ОпределениеПравить

Пусть   — группа Ли. Касательное пространство   в единице группы есть её алгебра Ли  . Для каждого элемента   рассмотрим дифференциал

 

внутреннего автоморфизма

 

Полученное действие   называется присоединённым представлением.

ЗамечанияПравить

  • Если   — линейная группа в пространстве  , то
     
Дифференциалом присоединённого представления группы   в единице служит присоединённое представление её алгебры Ли.
  • Образ группы Ли   при присоединённом представлении называется присоединённой группой группы   и обозначается  .

СвойстваПравить

  • Ядро   содержит центр группы  .
    • Более того, в случае, когда   связна и основное поле имеет характеристику  , совпадает с центром.
  • Связная полупростая группа Ли изоморфна своей присоединённой группе тогда и только тогда, когда её корни порождают группу рациональных характеров максимального тора; центр такой группы тривиален.
  • Если основное поле имеет характеристику 0 и   связна, то   однозначно определяется алгеброй Ли   и называется иногда присоединённой группой, или группой внутренних автоморфизмов, алгебры Ли  .
    • В частности, если   полупроста, то   совпадает со связной компонентой единицы в  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Основы теории групп Ли. — М.: ВИНИТИ, 1988. — С. 5—101. — (Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 20).