Открыть главное меню

Проверка статистических гипотез является содержанием одного из обширных классов задач математической статистики[1].

Статистическая гипотеза — предположение о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным выборки[1].

Содержание

Статистические гипотезыПравить

ОпределенияПравить

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина  , распределение которой   полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно   называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

  • Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение  , то есть  , где  — какой-то конкретный закон, называется простой.
  • Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения   к некоторому семейству распределений, то есть вида  , где   — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу  . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза  , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке   фиксированного объема   для распределения  . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

ПримерПравить

Пусть дана независимая выборка   из нормального распределения, где   — неизвестный параметр. Тогда  , где   — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней   — сложной.

Этапы проверки статистических гипотезПравить

  1. Формулировка основной гипотезы   и конкурирующей гипотезы  .
  2. Задание уровня значимости  , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
  3. Расчёт статистики   критерия такой, что:
    • её величина зависит от исходной выборки  ;
    • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы  ;
    • статистика  , как функция случайной величины  , также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
  4. Построение критической области. Из области значений   выделяется подмножество   таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство  . Это множество   и называется критической областью.
  5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику   и по попаданию (или непопаданию) в критическую область   выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы  .

Виды критической областиПравить

Выделяют три вида критических областей:

  • Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами  , где   находят из условий  .
  • Левосторонняя критическая область определяется интервалом  , где   находят из условия  .
  • Правосторонняя критическая область определяется интервалом  , где   находят из условия  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. — 528 с. — (Учебное пособие). — ISBN 978-5-9775-0199-.