Проективное представление

Проективное представление группы $G$ на векторном пространстве $V$ над полем $F$ — это гомоморфизм $G$ в проективную группу

$\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},$

где $\mathrm {GL} (V)$ — полная линейная группа, а $F^{*}$ — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора. Иными словами, это набор операторов $\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$ таких, что

$\rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)$

для некоторой константы $c(g,h)\in F$.

Некоторые проективные представления можно получить из представлений $\mathrm {GL} (V)$ с помощью факторотображения $\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$. Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления $\mathrm {GL} (V);$ в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.

Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:

• Специальная ортогональная группа $\mathrm {SO} (n,F)$ дважды накрывается спинорной группой $\mathrm {Spin} (n,F)$.
• В частности, группа вращений трёхмерного пространства $\mathrm {SO} (3)$ накрывается $\mathrm {SU} (2)$, изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
• Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ универсального накрытия группы Лоренца $\mathrm {SO} ^{+}(3,1)$.
• Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение $\mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$, представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.

Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии $H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ тривиальны, то всякое проективное унитарное представление $G$ может быть поднятно до обычного унитарного представления $G$. Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.

См. также

• Спинор
• Спинорная группа
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Расширение группы
• Симметрия в квантовой механике
• Теория представлений группы Лоренца

Литература

• Bargmann, Valentine (1954), "On unitary ray representations of continuous groups", Annals of Mathematics, 59 (1): 1—46, doi:10.2307/1969831, JSTOR 1969831
• Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Schur, I. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Crelle's Journal, 139: 155—250
• Simms, D. J. (1971), "A short proof of Bargmann's criterion for the lifting of projective representations of Lie groups", Reports on Mathematical Physics, 2 (4): 283—287, Bibcode:1971RpMP....2..283S, doi:10.1016/0034-4877(71)90011-5