Проективное представление

Проективное представление группы на векторном пространстве над полем  — это гомоморфизм в проективную группу

где  — полная линейная группа, а  — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора.[1] Иными словами, это набор операторов таких, что

для некоторой константы .

Некоторые проективные представления можно получить из представлений с помощью факторотображения . Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.

Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:

Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии алгебры Ли тривиальны, то всякое проективное унитарное представление может быть поднятно до обычного унитарного представления .[2][3] Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить