Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над полем $K$ — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства $L(K)$ над данным полем. Прямые пространства $L(K)$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело $K.$ В случае, когда поле $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, соответствующее проективное пространство называется вещественным или комплексным соответственно.

Если $L$ имеет размерность $n+1$, то размерностью проективного пространства называется число $n$, а само проективное пространство обозначается $KP^{n}$ и называется ассоциированным с $L$ (чтобы это указать, принято обозначение $P(L)$).

Переход от векторного пространства $L(K)$ размерности $n+1$ к соответствующему проективному пространству $KP^{n}$ называется проективизацией пространства $L(K)$.

Точки $KP^{n}$ можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства

Отождествляя точки $(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$, где $\lambda$ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности $\sim$)

$\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }$.

Точки проективного пространства обозначаются как $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$, где числа $x_{i}$ называются однородными координатами. Например, $[1:2:3]$ и $[2:4:6]$ обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек $P$, множества прямых $L$ и отношения инцидентности $I$, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

• лля любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
• каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
• если прямые $L$ и $M$ пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки $p$ и $q$ лежат на прямой $L$, а точки $s$ и $r$ — на прямой $M$, то прямые $ps$ и $qr$ пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество $T$ множества $P$, такое что для любых $p,q\in P$ из этого подмножества все точки прямой $pq$ принадлежат $T$. Размерностью проективного пространства $P$ называется наибольшее число $n$, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

$\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P$.

Классификация

• Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
• Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
• Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида $KP^{n}$ для некоторого тела $K$ удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости.
• Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга, любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства

• Пусть $M$ есть гиперплоскость в линейном пространстве $L$. Проективное пространство $P(M)\subset P(L)$ называется проективной гиперплоскостью в $P(L)$.
• На дополнении проективной гиперплоскости $A=P(L)\backslash P(M)$ существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство $A$, можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
• Пусть $P(L')$ и $P(L'')$ ― два проективных подпространства. Множество $P(L'+L'')$ называется проективной оболочкой множества $P(L')\cup P(L'')$ и обозначается $P(L'+L'')={\overline {P(L')\cup P(L'')}}$.

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением $\gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения $\mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}$

$E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}$,

а слоем — вещественная прямая $\mathbb {R}$. Каноническая проекция $\gamma ^{n}$ отображает прямую, проходящую через точки $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$, в соответствующую точку проективного пространства. При $n\geqslant 1$ это расслоение не является тривиальным. При $n=1$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.