Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над полем  — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства над данным полем. Прямые пространства называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело В случае, когда поле или , соответствующее проективное пространство называется вещественным или комплексным, соответственно.

Если имеет размерность , то размерностью проективного пространства называется число , а само проективное пространство обозначается и называется ассоциированным с (чтобы это указать, принято обозначение ).

Переход от векторного пространства размерности к соответствующему проективному пространству называется проективизацией пространства .

Точки можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространстваПравить

Отождествляя точки  , где   отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности  )

 .

Точки проективного пространства обозначаются как  , где числа   называются однородными координатами[1]. Например,   и   обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определениеПравить

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек  , множества прямых   и отношения инцидентности  , которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

  • Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
  • Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
  • Если прямые   и   пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки   и   лежат на прямой  , а точки   и   — на прямой  , то прямые   и   пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество   множества  , такое что для любых   из этого подмножества все точки прямой   принадлежат  . Размерностью проективного пространства   называется наибольшее число  , такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

 .

КлассификацияПравить

  • Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
  • Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
  • Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида   для некоторого тела   удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости.
  • Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,[2] любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойстваПравить

  • Пусть   есть гиперплоскость в линейном пространстве  . Проективное пространство   называется проективной гиперплоскостью в  .
  • На дополнении проективной гиперплоскости   существует естественная структура аффинного пространства.
  • Обратно, взяв за основу аффинное пространство  , можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
  • Пусть   и   ― два проективных подпространства. Множество   называется проективной оболочкой множества   и обозначается  .[3]

Тавтологическое расслоениеПравить

Тавтологическим расслоением   называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения  

 ,

а слоем — вещественная прямая  . Каноническая проекция   отображает прямую, проходящую через точки  , в соответствующую точку проективного пространства. При   это расслоение не является тривиальным. При   пространством расслоения является лента Мёбиуса.

ПримечанияПравить

  1. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, ч. 3, пар. 6, М.: Наука 1986
  2. Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. 9, пар. 1, — Физматлит, Москва, 2009.

ЛитератураПравить

  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.