Открыть главное меню

Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

ПостроениеПравить

Пусть   — два пространства с мерами. Тогда   — декартово произведение множеств   и  .

  является семейством подмножеств  . Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является  -алгеброй. Введём обозначение

 

— минимальная  -алгебра, содержащая  . Тогда   — измеримое пространство. Определим на нём меру   следующим образом:

 

Тогда   продолжается единственным образом с   на  :

 

или

 

где

  — сечение   вдоль  , а
  — сечение   вдоль  .

Получившаяся мера   называется произведением мер   и  . Пространство с мерой   называется (прямым) произведением исходных пространств.

ЗамечанияПравить

  • Если   — два вероятностных пространства, то   называется их произведением.
  • Если   — случайные величины, то   — распределения на     и   соответственно, а   — распределение на   случайного вектора  . Если   — независимы, то
 

ПримерПравить

Мера Лебега   на   может быть получена как произведение   одномерных мер Лебега   на  :

 

где   обозначает борелевскую  -алгебру на пространстве  , и

 

См. такжеПравить