Производная Фреше

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

ОпределениеПравить

Пусть   — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства   в вещественное банахово пространство  .

Производной Фреше оператора   в точке   называется ограниченный линейный оператор  , такой, что для любого   выполняется следующее равенство:

 

причем для остаточного члена   верно соотношение:

  при  

Если производная Фреше существует, то оператор   называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения   в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции  .

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

СвойстваПравить

Пусть   — отображения нормированных пространств. Тогда производная Фреше удовлетворяет:

  •  
  •  , где λ — некий скаляр из поля над которым определены нормированные пространства.
  •  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.